Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29107 / 19026
↖ ↑ ↗
← N 60.015462°
W 20.110474°		 ← 305.25 m → N 60.015462°
W 20.104981°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
N 60.012717°
W 20.110474°		 ← 305.28 m →
93 177 m²		 N 60.012717°
W 20.104981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444145202636719 y=0.290321350097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444145202636719 × 216)
    floor (0.444145202636719 × 65536)
    floor (29107.5)     		tx = 29107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290321350097656 × 216)
    floor (0.290321350097656 × 65536)
    floor (19026.5)     		ty = 19026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29107 / 19026 ti = "16/29107/19026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29107/19026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29107 ÷ 216
    29107 ÷ 65536     		x = 0.444137573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19026 ÷ 216
    19026 ÷ 65536     		y = 0.290313720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444137573242188 × 2 - 1) × π
    -0.111724853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35099398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.290313720703125 × 2 - 1) × π
    0.41937255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.31749774915762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35099398} λ = -0.35099398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31749774915762))-π/2
    2×atan(3.73406610746342)-π/2
    2×1.30913187050787-π/2
    2.61826374101575-1.57079632675     		φ = 1.04746741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35099398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.110474°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04746741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.015462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29107 KachelY 19026 -0.35099398 1.04746741 -20.110474 60.015462
    Oben rechts KachelX + 1 29108 KachelY 19026 -0.35089811 1.04746741 -20.104981 60.015462
    Unten links KachelX 29107 KachelY + 1 19027 -0.35099398 1.04741950 -20.110474 60.012717
    Unten rechts KachelX + 1 29108 KachelY + 1 19027 -0.35089811 1.04741950 -20.104981 60.012717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04746741-1.04741950) × R
    4.79100000001509e-05 × 6371000     		dl = 305.234610000961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04746741-1.04741950) × R
    4.79100000001509e-05 × 6371000     		dr = 305.234610000961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35099398--0.35089811) × cos(1.04746741) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.499766277217712 × 6371000     		do = 305.251129983001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35099398--0.35089811) × cos(1.04741950) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.499807774384174 × 6371000     		du = 305.276475944766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04746741)-sin(1.04741950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.499766277217712-0.499807774384174)×R²
    abs(-0.35089811--0.35099398)×4.14971664625674e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.14971664625674e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.14971664625674e-05×40589641000000     		ar = 93177.0778628749m²