Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29106 / 43342
↖ ↑ ↗
← S 50.113534°
W 20.115967°		 ← 391.68 m → S 50.113534°
W 20.110474°		 →
↑
391.69 m
↓
↑
391.69 m
↓
S 50.117056°
W 20.115967°		 ← 391.65 m →
153 411 m²		 S 50.117056°
W 20.110474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444129943847656 y=0.661354064941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444129943847656 × 216)
    floor (0.444129943847656 × 65536)
    floor (29106.5)     		tx = 29106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661354064941406 × 216)
    floor (0.661354064941406 × 65536)
    floor (43342.5)     		ty = 43342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29106 / 43342 ti = "16/29106/43342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29106/43342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29106 ÷ 216
    29106 ÷ 65536     		x = 0.444122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43342 ÷ 216
    43342 ÷ 65536     		y = 0.661346435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444122314453125 × 2 - 1) × π
    -0.11175537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35108985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661346435546875 × 2 - 1) × π
    -0.32269287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01376955316495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35108985} λ = -0.35108985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01376955316495))-π/2
    2×atan(0.362848621206381)-π/2
    2×0.348075084316269-π/2
    0.696150168632537-1.57079632675     		φ = -0.87464616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35108985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.115967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87464616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.113534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29106 KachelY 43342 -0.35108985 -0.87464616 -20.115967 -50.113534
    Oben rechts KachelX + 1 29107 KachelY 43342 -0.35099398 -0.87464616 -20.110474 -50.113534
    Unten links KachelX 29106 KachelY + 1 43343 -0.35108985 -0.87470764 -20.115967 -50.117056
    Unten rechts KachelX + 1 29107 KachelY + 1 43343 -0.35099398 -0.87470764 -20.110474 -50.117056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87464616--0.87470764) × R
    6.14800000000582e-05 × 6371000     		dl = 391.68908000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87464616--0.87470764) × R
    6.14800000000582e-05 × 6371000     		dr = 391.68908000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35108985--0.35099398) × cos(-0.87464616) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.641268405623206 × 6371000     		do = 391.678899442045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35108985--0.35099398) × cos(-0.87470764) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.641221229784041 × 6371000     		du = 391.650085016443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87464616)-sin(-0.87470764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641268405623206-0.641221229784041)×R²
    abs(-0.35099398--0.35108985)×4.71758391650257e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71758391650257e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71758391650257e-05×40589641000000     		ar = 153410.704678368m²