Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29106 / 42834
↖ ↑ ↗
← S 48.290503°
W 20.115967°		 ← 406.39 m → S 48.290503°
W 20.110474°		 →
↑
406.41 m
↓
↑
406.41 m
↓
S 48.294158°
W 20.115967°		 ← 406.36 m →
165 154 m²		 S 48.294158°
W 20.110474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444129943847656 y=0.653602600097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444129943847656 × 216)
    floor (0.444129943847656 × 65536)
    floor (29106.5)     		tx = 29106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653602600097656 × 216)
    floor (0.653602600097656 × 65536)
    floor (42834.5)     		ty = 42834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29106 / 42834 ti = "16/29106/42834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29106/42834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29106 ÷ 216
    29106 ÷ 65536     		x = 0.444122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42834 ÷ 216
    42834 ÷ 65536     		y = 0.653594970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444122314453125 × 2 - 1) × π
    -0.11175537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35108985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653594970703125 × 2 - 1) × π
    -0.30718994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.96506566315097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35108985} λ = -0.35108985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.96506566315097))-π/2
    2×atan(0.380958184003291)-π/2
    2×0.363984024114616-π/2
    0.727968048229231-1.57079632675     		φ = -0.84282828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35108985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.115967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84282828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.290503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29106 KachelY 42834 -0.35108985 -0.84282828 -20.115967 -48.290503
    Oben rechts KachelX + 1 29107 KachelY 42834 -0.35099398 -0.84282828 -20.110474 -48.290503
    Unten links KachelX 29106 KachelY + 1 42835 -0.35108985 -0.84289207 -20.115967 -48.294158
    Unten rechts KachelX + 1 29107 KachelY + 1 42835 -0.35099398 -0.84289207 -20.110474 -48.294158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84282828--0.84289207) × R
    6.3790000000008e-05 × 6371000     		dl = 406.406090000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84282828--0.84289207) × R
    6.3790000000008e-05 × 6371000     		dr = 406.406090000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35108985--0.35099398) × cos(-0.84282828) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.665354099833964 × 6371000     		do = 406.390146897935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35108985--0.35099398) × cos(-0.84289207) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.665306477464839 × 6371000     		du = 406.361059737295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84282828)-sin(-0.84289207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665354099833964-0.665306477464839)×R²
    abs(-0.35099398--0.35108985)×4.76223691249222e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76223691249222e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76223691249222e-05×40589641000000     		ar = 165153.520071749m²