Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29105 / 43281
↖ ↑ ↗
← S 49.898173°
W 20.121460°		 ← 393.48 m → S 49.898173°
W 20.115967°		 →
↑
393.41 m
↓
↑
393.41 m
↓
S 49.901711°
W 20.121460°		 ← 393.45 m →
154 793 m²		 S 49.901711°
W 20.115967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444114685058594 y=0.660423278808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444114685058594 × 216)
    floor (0.444114685058594 × 65536)
    floor (29105.5)     		tx = 29105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660423278808594 × 216)
    floor (0.660423278808594 × 65536)
    floor (43281.5)     		ty = 43281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29105 / 43281 ti = "16/29105/43281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29105/43281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29105 ÷ 216
    29105 ÷ 65536     		x = 0.444107055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43281 ÷ 216
    43281 ÷ 65536     		y = 0.660415649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444107055664062 × 2 - 1) × π
    -0.111785888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35118573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660415649414062 × 2 - 1) × π
    -0.320831298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0079212514113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35118573} λ = -0.35118573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0079212514113))-π/2
    2×atan(0.364976886737589)-π/2
    2×0.349954459173266-π/2
    0.699908918346532-1.57079632675     		φ = -0.87088741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35118573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.121460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87088741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.898173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29105 KachelY 43281 -0.35118573 -0.87088741 -20.121460 -49.898173
    Oben rechts KachelX + 1 29106 KachelY 43281 -0.35108985 -0.87088741 -20.115967 -49.898173
    Unten links KachelX 29105 KachelY + 1 43282 -0.35118573 -0.87094916 -20.121460 -49.901711
    Unten rechts KachelX + 1 29106 KachelY + 1 43282 -0.35108985 -0.87094916 -20.115967 -49.901711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87088741--0.87094916) × R
    6.17499999999715e-05 × 6371000     		dl = 393.409249999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87088741--0.87094916) × R
    6.17499999999715e-05 × 6371000     		dr = 393.409249999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35118573--0.35108985) × cos(-0.87088741) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.644148020287708 × 6371000     		do = 393.478771531786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35118573--0.35108985) × cos(-0.87094916) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.644100786431451 × 6371000     		du = 393.449918660785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87088741)-sin(-0.87094916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644148020287708-0.644100786431451)×R²
    abs(-0.35108985--0.35118573)×4.72338562572672e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72338562572672e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72338562572672e-05×40589641000000     		ar = 154792.512955163m²