Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29105 / 19025
↖ ↑ ↗
← N 60.018207°
W 20.121460°		 ← 305.26 m → N 60.018207°
W 20.115967°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
N 60.015462°
W 20.121460°		 ← 305.28 m →
93 199 m²		 N 60.015462°
W 20.115967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444114685058594 y=0.290306091308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444114685058594 × 216)
    floor (0.444114685058594 × 65536)
    floor (29105.5)     		tx = 29105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290306091308594 × 216)
    floor (0.290306091308594 × 65536)
    floor (19025.5)     		ty = 19025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29105 / 19025 ti = "16/29105/19025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29105/19025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29105 ÷ 216
    29105 ÷ 65536     		x = 0.444107055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19025 ÷ 216
    19025 ÷ 65536     		y = 0.290298461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444107055664062 × 2 - 1) × π
    -0.111785888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35118573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.290298461914062 × 2 - 1) × π
    0.419403076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31759362295686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35118573} λ = -0.35118573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31759362295686))-π/2
    2×atan(3.73442412372967)-π/2
    2×1.30915582675885-π/2
    2.61831165351771-1.57079632675     		φ = 1.04751533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35118573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.121460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04751533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.018207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29105 KachelY 19025 -0.35118573 1.04751533 -20.121460 60.018207
    Oben rechts KachelX + 1 29106 KachelY 19025 -0.35108985 1.04751533 -20.115967 60.018207
    Unten links KachelX 29105 KachelY + 1 19026 -0.35118573 1.04746741 -20.121460 60.015462
    Unten rechts KachelX + 1 29106 KachelY + 1 19026 -0.35108985 1.04746741 -20.115967 60.015462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04751533-1.04746741) × R
    4.79199999998681e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04751533-1.04746741) × R
    4.79199999998681e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35118573--0.35108985) × cos(1.04751533) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.49972477024226 × 6371000     		do = 305.257615495121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35118573--0.35108985) × cos(1.04746741) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.499766277217712 × 6371000     		du = 305.282970092506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04751533)-sin(1.04746741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.49972477024226-0.499766277217712)×R²
    abs(-0.35108985--0.35118573)×4.15069754523545e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.15069754523545e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.15069754523545e-05×40589641000000     		ar = 93198.5075533452m²