Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29104 / 43216
↖ ↑ ↗
← S 49.667628°
W 20.126953°		 ← 395.31 m → S 49.667628°
W 20.121460°		 →
↑
395.32 m
↓
↑
395.32 m
↓
S 49.671183°
W 20.126953°		 ← 395.29 m →
156 270 m²		 S 49.671183°
W 20.121460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444099426269531 y=0.659431457519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444099426269531 × 216)
    floor (0.444099426269531 × 65536)
    floor (29104.5)     		tx = 29104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659431457519531 × 216)
    floor (0.659431457519531 × 65536)
    floor (43216.5)     		ty = 43216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29104 / 43216 ti = "16/29104/43216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29104/43216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29104 ÷ 216
    29104 ÷ 65536     		x = 0.444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43216 ÷ 216
    43216 ÷ 65536     		y = 0.659423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.11181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35128160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659423828125 × 2 - 1) × π
    -0.31884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00168945446069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35128160} λ = -0.35128160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00168945446069))-π/2
    2×atan(0.367258450324142)-π/2
    2×0.351966344826766-π/2
    0.703932689653532-1.57079632675     		φ = -0.86686364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35128160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.126953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86686364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.667628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29104 KachelY 43216 -0.35128160 -0.86686364 -20.126953 -49.667628
    Oben rechts KachelX + 1 29105 KachelY 43216 -0.35118573 -0.86686364 -20.121460 -49.667628
    Unten links KachelX 29104 KachelY + 1 43217 -0.35128160 -0.86692569 -20.126953 -49.671183
    Unten rechts KachelX + 1 29105 KachelY + 1 43217 -0.35118573 -0.86692569 -20.121460 -49.671183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86686364--0.86692569) × R
    6.20499999999247e-05 × 6371000     		dl = 395.32054999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86686364--0.86692569) × R
    6.20499999999247e-05 × 6371000     		dr = 395.32054999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35128160--0.35118573) × cos(-0.86686364) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.647220582517329 × 6371000     		do = 395.31441629408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35128160--0.35118573) × cos(-0.86692569) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.647173280384336 × 6371000     		du = 395.285524729753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86686364)-sin(-0.86692569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647220582517329-0.647173280384336)×R²
    abs(-0.35118573--0.35128160)×4.73021329929768e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.73021329929768e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.73021329929768e-05×40589641000000     		ar = 156270.20180775m²