Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29104 / 19431
↖ ↑ ↗
← N 58.884781°
W 20.126953°		 ← 315.63 m → N 58.884781°
W 20.121460°		 →
↑
315.68 m
↓
↑
315.68 m
↓
N 58.881942°
W 20.126953°		 ← 315.66 m →
99 643 m²		 N 58.881942°
W 20.121460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444099426269531 y=0.296501159667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444099426269531 × 216)
    floor (0.444099426269531 × 65536)
    floor (29104.5)     		tx = 29104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296501159667969 × 216)
    floor (0.296501159667969 × 65536)
    floor (19431.5)     		ty = 19431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29104 / 19431 ti = "16/29104/19431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29104/19431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29104 ÷ 216
    29104 ÷ 65536     		x = 0.444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19431 ÷ 216
    19431 ÷ 65536     		y = 0.296493530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.11181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35128160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296493530273438 × 2 - 1) × π
    0.407012939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27866886046538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35128160} λ = -0.35128160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27866886046538))-π/2
    2×atan(3.5918552813267)-π/2
    2×1.29926481595731-π/2
    2.59852963191463-1.57079632675     		φ = 1.02773331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35128160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.126953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02773331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.884781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29104 KachelY 19431 -0.35128160 1.02773331 -20.126953 58.884781
    Oben rechts KachelX + 1 29105 KachelY 19431 -0.35118573 1.02773331 -20.121460 58.884781
    Unten links KachelX 29104 KachelY + 1 19432 -0.35128160 1.02768376 -20.126953 58.881942
    Unten rechts KachelX + 1 29105 KachelY + 1 19432 -0.35118573 1.02768376 -20.121460 58.881942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02773331-1.02768376) × R
    4.95499999999538e-05 × 6371000     		dl = 315.683049999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02773331-1.02768376) × R
    4.95499999999538e-05 × 6371000     		dr = 315.683049999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35128160--0.35118573) × cos(1.02773331) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.516760751812671 × 6371000     		do = 315.631147223361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35128160--0.35118573) × cos(1.02768376) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.516803172412499 × 6371000     		du = 315.657057206932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02773331)-sin(1.02768376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516760751812671-0.516803172412499)×R²
    abs(-0.35118573--0.35128160)×4.24205998280636e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.24205998280636e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.24205998280636e-05×40589641000000     		ar = 99643.4929223529m²