Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29103 / 43278
↖ ↑ ↗
← S 49.887557°
W 20.132446°		 ← 393.52 m → S 49.887557°
W 20.126953°		 →
↑
393.54 m
↓
↑
393.54 m
↓
S 49.891096°
W 20.132446°		 ← 393.50 m →
154 861 m²		 S 49.891096°
W 20.126953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444084167480469 y=0.660377502441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444084167480469 × 216)
    floor (0.444084167480469 × 65536)
    floor (29103.5)     		tx = 29103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660377502441406 × 216)
    floor (0.660377502441406 × 65536)
    floor (43278.5)     		ty = 43278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29103 / 43278 ti = "16/29103/43278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29103/43278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29103 ÷ 216
    29103 ÷ 65536     		x = 0.444076538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43278 ÷ 216
    43278 ÷ 65536     		y = 0.660369873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444076538085938 × 2 - 1) × π
    -0.111846923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35137747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660369873046875 × 2 - 1) × π
    -0.32073974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00763363001358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35137747} λ = -0.35137747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00763363001358))-π/2
    2×atan(0.365081876997887)-π/2
    2×0.350047104740599-π/2
    0.700094209481197-1.57079632675     		φ = -0.87070212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35137747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.132446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87070212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.887557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29103 KachelY 43278 -0.35137747 -0.87070212 -20.132446 -49.887557
    Oben rechts KachelX + 1 29104 KachelY 43278 -0.35128160 -0.87070212 -20.126953 -49.887557
    Unten links KachelX 29103 KachelY + 1 43279 -0.35137747 -0.87076389 -20.132446 -49.891096
    Unten rechts KachelX + 1 29104 KachelY + 1 43279 -0.35128160 -0.87076389 -20.126953 -49.891096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87070212--0.87076389) × R
    6.1769999999961e-05 × 6371000     		dl = 393.536669999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87070212--0.87076389) × R
    6.1769999999961e-05 × 6371000     		dr = 393.536669999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35137747--0.35128160) × cos(-0.87070212) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.64428973770996 × 6371000     		do = 393.524292129743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35137747--0.35128160) × cos(-0.87076389) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644242495927938 × 6371000     		du = 393.495437427051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87070212)-sin(-0.87076389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64428973770996-0.644242495927938)×R²
    abs(-0.35128160--0.35137747)×4.72417820215343e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72417820215343e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72417820215343e-05×40589641000000     		ar = 154860.561846096m²