Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29103 / 19327
↖ ↑ ↗
← N 59.178743°
W 20.132446°		 ← 312.94 m → N 59.178743°
W 20.126953°		 →
↑
312.94 m
↓
↑
312.94 m
↓
N 59.175928°
W 20.132446°		 ← 312.97 m →
97 938 m²		 N 59.175928°
W 20.126953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444084167480469 y=0.294914245605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444084167480469 × 216)
    floor (0.444084167480469 × 65536)
    floor (29103.5)     		tx = 29103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294914245605469 × 216)
    floor (0.294914245605469 × 65536)
    floor (19327.5)     		ty = 19327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29103 / 19327 ti = "16/29103/19327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29103/19327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29103 ÷ 216
    29103 ÷ 65536     		x = 0.444076538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19327 ÷ 216
    19327 ÷ 65536     		y = 0.294906616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444076538085938 × 2 - 1) × π
    -0.111846923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35137747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294906616210938 × 2 - 1) × π
    0.410186767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28863973558635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35137747} λ = -0.35137747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28863973558635))-π/2
    2×atan(3.62784836486273)-π/2
    2×1.30183011835826-π/2
    2.60366023671651-1.57079632675     		φ = 1.03286391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35137747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.132446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03286391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.178743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29103 KachelY 19327 -0.35137747 1.03286391 -20.132446 59.178743
    Oben rechts KachelX + 1 29104 KachelY 19327 -0.35128160 1.03286391 -20.126953 59.178743
    Unten links KachelX 29103 KachelY + 1 19328 -0.35137747 1.03281479 -20.132446 59.175928
    Unten rechts KachelX + 1 29104 KachelY + 1 19328 -0.35128160 1.03281479 -20.126953 59.175928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03286391-1.03281479) × R
    4.91200000001246e-05 × 6371000     		dl = 312.943520000794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03286391-1.03281479) × R
    4.91200000001246e-05 × 6371000     		dr = 312.943520000794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35137747--0.35128160) × cos(1.03286391) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.512361509912497 × 6371000     		do = 312.94414407328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35137747--0.35128160) × cos(1.03281479) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.512403692070203 × 6371000     		du = 312.969908419319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03286391)-sin(1.03281479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512361509912497-0.512403692070203)×R²
    abs(-0.35128160--0.35137747)×4.21821577064607e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.21821577064607e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.21821577064607e-05×40589641000000     		ar = 97937.8734218631m²