Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29102 / 43309
↖ ↑ ↗
← S 49.997147°
W 20.137940°		 ← 392.67 m → S 49.997147°
W 20.132446°		 →
↑
392.64 m
↓
↑
392.64 m
↓
S 50.000678°
W 20.137940°		 ← 392.64 m →
154 175 m²		 S 50.000678°
W 20.132446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444068908691406 y=0.660850524902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444068908691406 × 216)
    floor (0.444068908691406 × 65536)
    floor (29102.5)     		tx = 29102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660850524902344 × 216)
    floor (0.660850524902344 × 65536)
    floor (43309.5)     		ty = 43309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29102 / 43309 ti = "16/29102/43309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29102/43309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29102 ÷ 216
    29102 ÷ 65536     		x = 0.444061279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43309 ÷ 216
    43309 ÷ 65536     		y = 0.660842895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444061279296875 × 2 - 1) × π
    -0.11187744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35147335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660842895507812 × 2 - 1) × π
    -0.321685791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01060571779002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35147335} λ = -0.35147335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01060571779002))-π/2
    2×atan(0.363998432457531)-π/2
    2×0.349090749802755-π/2
    0.69818149960551-1.57079632675     		φ = -0.87261483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35147335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.137940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87261483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.997147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29102 KachelY 43309 -0.35147335 -0.87261483 -20.137940 -49.997147
    Oben rechts KachelX + 1 29103 KachelY 43309 -0.35137747 -0.87261483 -20.132446 -49.997147
    Unten links KachelX 29102 KachelY + 1 43310 -0.35147335 -0.87267646 -20.137940 -50.000678
    Unten rechts KachelX + 1 29103 KachelY + 1 43310 -0.35137747 -0.87267646 -20.132446 -50.000678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87261483--0.87267646) × R
    6.16300000000347e-05 × 6371000     		dl = 392.644730000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87261483--0.87267646) × R
    6.16300000000347e-05 × 6371000     		dr = 392.644730000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35147335--0.35137747) × cos(-0.87261483) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.6428257548365 × 6371000     		do = 392.671063723963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35147335--0.35137747) × cos(-0.87267646) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.642778544269419 × 6371000     		du = 392.64222507919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87261483)-sin(-0.87267646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6428257548365-0.642778544269419)×R²
    abs(-0.35137747--0.35147335)×4.72105670812351e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72105670812351e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72105670812351e-05×40589641000000     		ar = 154174.562172556m²