Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29102 / 43222
↖ ↑ ↗
← S 49.688955°
W 20.137940°		 ← 395.18 m → S 49.688955°
W 20.132446°		 →
↑
395.19 m
↓
↑
395.19 m
↓
S 49.692509°
W 20.137940°		 ← 395.15 m →
156 168 m²		 S 49.692509°
W 20.132446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444068908691406 y=0.659523010253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444068908691406 × 216)
    floor (0.444068908691406 × 65536)
    floor (29102.5)     		tx = 29102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659523010253906 × 216)
    floor (0.659523010253906 × 65536)
    floor (43222.5)     		ty = 43222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29102 / 43222 ti = "16/29102/43222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29102/43222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29102 ÷ 216
    29102 ÷ 65536     		x = 0.444061279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43222 ÷ 216
    43222 ÷ 65536     		y = 0.659515380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444061279296875 × 2 - 1) × π
    -0.11187744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35147335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659515380859375 × 2 - 1) × π
    -0.31903076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.00226469725613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35147335} λ = -0.35147335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00226469725613))-π/2
    2×atan(0.367047248298574)-π/2
    2×0.351780231151121-π/2
    0.703560462302242-1.57079632675     		φ = -0.86723586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35147335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.137940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86723586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.688955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29102 KachelY 43222 -0.35147335 -0.86723586 -20.137940 -49.688955
    Oben rechts KachelX + 1 29103 KachelY 43222 -0.35137747 -0.86723586 -20.132446 -49.688955
    Unten links KachelX 29102 KachelY + 1 43223 -0.35147335 -0.86729789 -20.137940 -49.692509
    Unten rechts KachelX + 1 29103 KachelY + 1 43223 -0.35137747 -0.86729789 -20.132446 -49.692509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86723586--0.86729789) × R
    6.20300000000462e-05 × 6371000     		dl = 395.193130000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86723586--0.86729789) × R
    6.20300000000462e-05 × 6371000     		dr = 395.193130000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35147335--0.35137747) × cos(-0.86723586) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.646936793350283 × 6371000     		do = 395.182297684444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35147335--0.35137747) × cos(-0.86729789) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.646889491524419 × 6371000     		du = 395.153403294109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86723586)-sin(-0.86729789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646936793350283-0.646889491524419)×R²
    abs(-0.35137747--0.35147335)×4.73018258634328e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73018258634328e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73018258634328e-05×40589641000000     		ar = 156167.619760456m²