Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29101 / 42737
↖ ↑ ↗
← S 47.934747°
W 20.143433°		 ← 409.21 m → S 47.934747°
W 20.137940°		 →
↑
409.21 m
↓
↑
409.21 m
↓
S 47.938427°
W 20.143433°		 ← 409.18 m →
167 448 m²		 S 47.938427°
W 20.137940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444053649902344 y=0.652122497558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444053649902344 × 216)
    floor (0.444053649902344 × 65536)
    floor (29101.5)     		tx = 29101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652122497558594 × 216)
    floor (0.652122497558594 × 65536)
    floor (42737.5)     		ty = 42737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29101 / 42737 ti = "16/29101/42737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29101/42737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29101 ÷ 216
    29101 ÷ 65536     		x = 0.444046020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42737 ÷ 216
    42737 ÷ 65536     		y = 0.652114868164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444046020507812 × 2 - 1) × π
    -0.111907958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35156922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652114868164062 × 2 - 1) × π
    -0.304229736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.95576590462468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35156922} λ = -0.35156922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.95576590462468))-π/2
    2×atan(0.384517527990329)-π/2
    2×0.367088584788135-π/2
    0.734177169576271-1.57079632675     		φ = -0.83661916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35156922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.143433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83661916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.934747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29101 KachelY 42737 -0.35156922 -0.83661916 -20.143433 -47.934747
    Oben rechts KachelX + 1 29102 KachelY 42737 -0.35147335 -0.83661916 -20.137940 -47.934747
    Unten links KachelX 29101 KachelY + 1 42738 -0.35156922 -0.83668339 -20.143433 -47.938427
    Unten rechts KachelX + 1 29102 KachelY + 1 42738 -0.35147335 -0.83668339 -20.137940 -47.938427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83661916--0.83668339) × R
    6.42299999999985e-05 × 6371000     		dl = 409.20932999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83661916--0.83668339) × R
    6.42299999999985e-05 × 6371000     		dr = 409.20932999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35156922--0.35147335) × cos(-0.83661916) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669976525718309 × 6371000     		do = 409.213468095825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35156922--0.35147335) × cos(-0.83668339) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669928841122276 × 6371000     		du = 409.18434292775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83661916)-sin(-0.83668339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669976525718309-0.669928841122276)×R²
    abs(-0.35147335--0.35156922)×4.76845960337702e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76845960337702e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76845960337702e-05×40589641000000     		ar = 167448.010018824m²