Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29101 / 19328
↖ ↑ ↗
← N 59.175928°
W 20.143433°		 ← 312.97 m → N 59.175928°
W 20.137940°		 →
↑
313.01 m
↓
↑
313.01 m
↓
N 59.173114°
W 20.143433°		 ← 313 m →
97 966 m²		 N 59.173114°
W 20.137940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444053649902344 y=0.294929504394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444053649902344 × 216)
    floor (0.444053649902344 × 65536)
    floor (29101.5)     		tx = 29101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294929504394531 × 216)
    floor (0.294929504394531 × 65536)
    floor (19328.5)     		ty = 19328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29101 / 19328 ti = "16/29101/19328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29101/19328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29101 ÷ 216
    29101 ÷ 65536     		x = 0.444046020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19328 ÷ 216
    19328 ÷ 65536     		y = 0.294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444046020507812 × 2 - 1) × π
    -0.111907958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35156922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294921875 × 2 - 1) × π
    0.41015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28854386178711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35156922} λ = -0.35156922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28854386178711))-π/2
    2×atan(3.6275005659296)-π/2
    2×1.30180555632487-π/2
    2.60361111264973-1.57079632675     		φ = 1.03281479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35156922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.143433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03281479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.175928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29101 KachelY 19328 -0.35156922 1.03281479 -20.143433 59.175928
    Oben rechts KachelX + 1 29102 KachelY 19328 -0.35147335 1.03281479 -20.137940 59.175928
    Unten links KachelX 29101 KachelY + 1 19329 -0.35156922 1.03276566 -20.143433 59.173114
    Unten rechts KachelX + 1 29102 KachelY + 1 19329 -0.35147335 1.03276566 -20.137940 59.173114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03281479-1.03276566) × R
    4.91300000000638e-05 × 6371000     		dl = 313.007230000407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03281479-1.03276566) × R
    4.91300000000638e-05 × 6371000     		dr = 313.007230000407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35156922--0.35147335) × cos(1.03281479) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.512403692070203 × 6371000     		do = 312.969908419319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35156922--0.35147335) × cos(1.03276566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.51244588157879 × 6371000     		du = 312.995677255186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03281479)-sin(1.03276566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512403692070203-0.51244588157879)×R²
    abs(-0.35147335--0.35156922)×4.21895085871427e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.21895085871427e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.21895085871427e-05×40589641000000     		ar = 97965.8770438002m²