Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29100 / 43228
↖ ↑ ↗
← S 49.710273°
W 20.148926°		 ← 395.01 m → S 49.710273°
W 20.143433°		 →
↑
394.94 m
↓
↑
394.94 m
↓
S 49.713824°
W 20.148926°		 ← 394.98 m →
155 998 m²		 S 49.713824°
W 20.143433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444038391113281 y=0.659614562988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444038391113281 × 216)
    floor (0.444038391113281 × 65536)
    floor (29100.5)     		tx = 29100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659614562988281 × 216)
    floor (0.659614562988281 × 65536)
    floor (43228.5)     		ty = 43228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29100 / 43228 ti = "16/29100/43228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29100/43228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29100 ÷ 216
    29100 ÷ 65536     		x = 0.44403076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43228 ÷ 216
    43228 ÷ 65536     		y = 0.65960693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44403076171875 × 2 - 1) × π
    -0.1119384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35166510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65960693359375 × 2 - 1) × π
    -0.3192138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.00283994005157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35166510} λ = -0.35166510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00283994005157))-π/2
    2×atan(0.366836167730513)-π/2
    2×0.351594199095912-π/2
    0.703188398191824-1.57079632675     		φ = -0.86760793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35166510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.148926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86760793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.710273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29100 KachelY 43228 -0.35166510 -0.86760793 -20.148926 -49.710273
    Oben rechts KachelX + 1 29101 KachelY 43228 -0.35156922 -0.86760793 -20.143433 -49.710273
    Unten links KachelX 29100 KachelY + 1 43229 -0.35166510 -0.86766992 -20.148926 -49.713824
    Unten rechts KachelX + 1 29101 KachelY + 1 43229 -0.35156922 -0.86766992 -20.143433 -49.713824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86760793--0.86766992) × R
    6.19899999999562e-05 × 6371000     		dl = 394.938289999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86760793--0.86766992) × R
    6.19899999999562e-05 × 6371000     		dr = 394.938289999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35166510--0.35156922) × cos(-0.86760793) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.646653028969264 × 6371000     		do = 395.008959792328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35166510--0.35156922) × cos(-0.86766992) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.646605742729217 × 6371000     		du = 394.980074922611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86760793)-sin(-0.86766992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646653028969264-0.646605742729217)×R²
    abs(-0.35156922--0.35166510)×4.72862400469065e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72862400469065e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72862400469065e-05×40589641000000     		ar = 155998.459294524m²