Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29099 / 43257
↖ ↑ ↗
← S 49.813176°
W 20.154419°		 ← 394.13 m → S 49.813176°
W 20.148926°		 →
↑
394.11 m
↓
↑
394.11 m
↓
S 49.816721°
W 20.154419°		 ← 394.10 m →
155 325 m²		 S 49.816721°
W 20.148926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444023132324219 y=0.660057067871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444023132324219 × 216)
    floor (0.444023132324219 × 65536)
    floor (29099.5)     		tx = 29099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660057067871094 × 216)
    floor (0.660057067871094 × 65536)
    floor (43257.5)     		ty = 43257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29099 / 43257 ti = "16/29099/43257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29099/43257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29099 ÷ 216
    29099 ÷ 65536     		x = 0.444015502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43257 ÷ 216
    43257 ÷ 65536     		y = 0.660049438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444015502929688 × 2 - 1) × π
    -0.111968994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35176097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660049438476562 × 2 - 1) × π
    -0.320098876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00562028022954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35176097} λ = -0.35176097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00562028022954))-π/2
    2×atan(0.365817654956751)-π/2
    2×0.350696194459757-π/2
    0.701392388919514-1.57079632675     		φ = -0.86940394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35176097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.154419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86940394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.813176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29099 KachelY 43257 -0.35176097 -0.86940394 -20.154419 -49.813176
    Oben rechts KachelX + 1 29100 KachelY 43257 -0.35166510 -0.86940394 -20.148926 -49.813176
    Unten links KachelX 29099 KachelY + 1 43258 -0.35176097 -0.86946580 -20.154419 -49.816721
    Unten rechts KachelX + 1 29100 KachelY + 1 43258 -0.35166510 -0.86946580 -20.148926 -49.816721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86940394--0.86946580) × R
    6.18599999999692e-05 × 6371000     		dl = 394.110059999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86940394--0.86946580) × R
    6.18599999999692e-05 × 6371000     		dr = 394.110059999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35176097--0.35166510) × cos(-0.86940394) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645282018569817 × 6371000     		do = 394.130365143349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35176097--0.35166510) × cos(-0.86946580) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645234759731783 × 6371000     		du = 394.101500023053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86940394)-sin(-0.86946580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645282018569817-0.645234759731783)×R²
    abs(-0.35166510--0.35176097)×4.72588380341366e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72588380341366e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72588380341366e-05×40589641000000     		ar = 155325.053886678m²