Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29099 / 40749
↖ ↑ ↗
← S 40.099084°
W 20.154419°		 ← 467.21 m → S 40.099084°
W 20.148926°		 →
↑
467.19 m
↓
↑
467.19 m
↓
S 40.103286°
W 20.154419°		 ← 467.18 m →
218 267 m²		 S 40.103286°
W 20.148926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444023132324219 y=0.621788024902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444023132324219 × 216)
    floor (0.444023132324219 × 65536)
    floor (29099.5)     		tx = 29099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621788024902344 × 216)
    floor (0.621788024902344 × 65536)
    floor (40749.5)     		ty = 40749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29099 / 40749 ti = "16/29099/40749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29099/40749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29099 ÷ 216
    29099 ÷ 65536     		x = 0.444015502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40749 ÷ 216
    40749 ÷ 65536     		y = 0.621780395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444015502929688 × 2 - 1) × π
    -0.111968994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35176097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621780395507812 × 2 - 1) × π
    -0.243560791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.765168791735336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35176097} λ = -0.35176097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.765168791735336))-π/2
    2×atan(0.465255393081053)-π/2
    2×0.435467640702892-π/2
    0.870935281405783-1.57079632675     		φ = -0.69986105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35176097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.154419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69986105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.099084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29099 KachelY 40749 -0.35176097 -0.69986105 -20.154419 -40.099084
    Oben rechts KachelX + 1 29100 KachelY 40749 -0.35166510 -0.69986105 -20.148926 -40.099084
    Unten links KachelX 29099 KachelY + 1 40750 -0.35176097 -0.69993438 -20.154419 -40.103286
    Unten rechts KachelX + 1 29100 KachelY + 1 40750 -0.35166510 -0.69993438 -20.148926 -40.103286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69986105--0.69993438) × R
    7.33299999999826e-05 × 6371000     		dl = 467.185429999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69986105--0.69993438) × R
    7.33299999999826e-05 × 6371000     		dr = 467.185429999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35176097--0.35166510) × cos(-0.69986105) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.764931693948399 × 6371000     		do = 467.210923549055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35176097--0.35166510) × cos(-0.69993438) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.764884459202395 × 6371000     		du = 467.182073143877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69986105)-sin(-0.69993438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764931693948399-0.764884459202395)×R²
    abs(-0.35166510--0.35176097)×4.72347460035438e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72347460035438e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72347460035438e-05×40589641000000     		ar = 218267.397072127m²