Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29098 / 18090
↖ ↑ ↗
← N 62.486953°
W 20.159912°		 ← 282.15 m → N 62.486953°
W 20.154419°		 →
↑
282.17 m
↓
↑
282.17 m
↓
N 62.484415°
W 20.159912°		 ← 282.18 m →
79 619 m²		 N 62.484415°
W 20.154419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444007873535156 y=0.276039123535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444007873535156 × 216)
    floor (0.444007873535156 × 65536)
    floor (29098.5)     		tx = 29098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276039123535156 × 216)
    floor (0.276039123535156 × 65536)
    floor (18090.5)     		ty = 18090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29098 / 18090 ti = "16/29098/18090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29098/18090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29098 ÷ 216
    29098 ÷ 65536     		x = 0.444000244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18090 ÷ 216
    18090 ÷ 65536     		y = 0.276031494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444000244140625 × 2 - 1) × π
    -0.11199951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35185684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276031494140625 × 2 - 1) × π
    0.44793701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.40723562524637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35185684} λ = -0.35185684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40723562524637))-π/2
    2×atan(4.08464828411916)-π/2
    2×1.33069969826807-π/2
    2.66139939653615-1.57079632675     		φ = 1.09060307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35185684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.159912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09060307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.486953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29098 KachelY 18090 -0.35185684 1.09060307 -20.159912 62.486953
    Oben rechts KachelX + 1 29099 KachelY 18090 -0.35176097 1.09060307 -20.154419 62.486953
    Unten links KachelX 29098 KachelY + 1 18091 -0.35185684 1.09055878 -20.159912 62.484415
    Unten rechts KachelX + 1 29099 KachelY + 1 18091 -0.35176097 1.09055878 -20.154419 62.484415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09060307-1.09055878) × R
    4.42899999999469e-05 × 6371000     		dl = 282.171589999662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09060307-1.09055878) × R
    4.42899999999469e-05 × 6371000     		dr = 282.171589999662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35185684--0.35176097) × cos(1.09060307) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.461950584712974 × 6371000     		do = 282.153767487027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35185684--0.35176097) × cos(1.09055878) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.461989865311749 × 6371000     		du = 282.177759596357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09060307)-sin(1.09055878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461950584712974-0.461989865311749)×R²
    abs(-0.35176097--0.35185684)×3.92805987747269e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.92805987747269e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.92805987747269e-05×40589641000000     		ar = 79619.1621547389m²