Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29096 / 18086
↖ ↑ ↗
← N 62.497102°
W 20.170898°		 ← 282.06 m → N 62.497102°
W 20.165405°		 →
↑
282.11 m
↓
↑
282.11 m
↓
N 62.494565°
W 20.170898°		 ← 282.08 m →
79 574 m²		 N 62.494565°
W 20.165405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443977355957031 y=0.275978088378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443977355957031 × 216)
    floor (0.443977355957031 × 65536)
    floor (29096.5)     		tx = 29096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275978088378906 × 216)
    floor (0.275978088378906 × 65536)
    floor (18086.5)     		ty = 18086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29096 / 18086 ti = "16/29096/18086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29096/18086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29096 ÷ 216
    29096 ÷ 65536     		x = 0.4439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18086 ÷ 216
    18086 ÷ 65536     		y = 0.275970458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35204859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275970458984375 × 2 - 1) × π
    0.44805908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.40761912044333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35204859} λ = -0.35204859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40761912044333))-π/2
    2×atan(4.08621502751747)-π/2
    2×1.33078826112086-π/2
    2.66157652224171-1.57079632675     		φ = 1.09078020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35204859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.170898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09078020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.497102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29096 KachelY 18086 -0.35204859 1.09078020 -20.170898 62.497102
    Oben rechts KachelX + 1 29097 KachelY 18086 -0.35195272 1.09078020 -20.165405 62.497102
    Unten links KachelX 29096 KachelY + 1 18087 -0.35204859 1.09073592 -20.170898 62.494565
    Unten rechts KachelX + 1 29097 KachelY + 1 18087 -0.35195272 1.09073592 -20.165405 62.494565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09078020-1.09073592) × R
    4.42800000000076e-05 × 6371000     		dl = 282.107880000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09078020-1.09073592) × R
    4.42800000000076e-05 × 6371000     		dr = 282.107880000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35204859--0.35195272) × cos(1.09078020) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.461793479866628 × 6371000     		do = 282.057809768271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35204859--0.35195272) × cos(1.09073592) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.461832755219313 × 6371000     		du = 282.081798673354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09078020)-sin(1.09073592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461793479866628-0.461832755219313)×R²
    abs(-0.35195272--0.35204859)×3.92753526852752e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.92753526852752e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.92753526852752e-05×40589641000000     		ar = 79574.1144936045m²