Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29095 / 43255
↖ ↑ ↗
← S 49.806087°
W 20.176391°		 ← 394.19 m → S 49.806087°
W 20.170898°		 →
↑
394.17 m
↓
↑
394.17 m
↓
S 49.809632°
W 20.176391°		 ← 394.16 m →
155 373 m²		 S 49.809632°
W 20.170898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443962097167969 y=0.660026550292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443962097167969 × 216)
    floor (0.443962097167969 × 65536)
    floor (29095.5)     		tx = 29095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660026550292969 × 216)
    floor (0.660026550292969 × 65536)
    floor (43255.5)     		ty = 43255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29095 / 43255 ti = "16/29095/43255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29095/43255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29095 ÷ 216
    29095 ÷ 65536     		x = 0.443954467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43255 ÷ 216
    43255 ÷ 65536     		y = 0.660018920898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443954467773438 × 2 - 1) × π
    -0.112091064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35214446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660018920898438 × 2 - 1) × π
    -0.320037841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.00542853263106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35214446} λ = -0.35214446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00542853263106))-π/2
    2×atan(0.365887806339036)-π/2
    2×0.350758064629856-π/2
    0.701516129259713-1.57079632675     		φ = -0.86928020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35214446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.176391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86928020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.806087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29095 KachelY 43255 -0.35214446 -0.86928020 -20.176391 -49.806087
    Oben rechts KachelX + 1 29096 KachelY 43255 -0.35204859 -0.86928020 -20.170898 -49.806087
    Unten links KachelX 29095 KachelY + 1 43256 -0.35214446 -0.86934207 -20.176391 -49.809632
    Unten rechts KachelX + 1 29096 KachelY + 1 43256 -0.35204859 -0.86934207 -20.170898 -49.809632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86928020--0.86934207) × R
    6.18700000000194e-05 × 6371000     		dl = 394.173770000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86928020--0.86934207) × R
    6.18700000000194e-05 × 6371000     		dr = 394.173770000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35214446--0.35204859) × cos(-0.86928020) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645376544115173 × 6371000     		do = 394.188100190404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35214446--0.35204859) × cos(-0.86934207) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645329282577622 × 6371000     		du = 394.159233421277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86928020)-sin(-0.86934207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645376544115173-0.645329282577622)×R²
    abs(-0.35204859--0.35214446)×4.72615375508578e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72615375508578e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72615375508578e-05×40589641000000     		ar = 155372.920329189m²