Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29095 / 43208
↖ ↑ ↗
← S 49.639177°
W 20.176391°		 ← 395.55 m → S 49.639177°
W 20.170898°		 →
↑
395.58 m
↓
↑
395.58 m
↓
S 49.642735°
W 20.176391°		 ← 395.52 m →
156 462 m²		 S 49.642735°
W 20.170898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443962097167969 y=0.659309387207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443962097167969 × 216)
    floor (0.443962097167969 × 65536)
    floor (29095.5)     		tx = 29095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659309387207031 × 216)
    floor (0.659309387207031 × 65536)
    floor (43208.5)     		ty = 43208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29095 / 43208 ti = "16/29095/43208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29095/43208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29095 ÷ 216
    29095 ÷ 65536     		x = 0.443954467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43208 ÷ 216
    43208 ÷ 65536     		y = 0.6593017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443954467773438 × 2 - 1) × π
    -0.112091064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35214446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6593017578125 × 2 - 1) × π
    -0.318603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00092246406677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35214446} λ = -0.35214446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00092246406677))-π/2
    2×atan(0.367540242079597)-π/2
    2×0.352214623376715-π/2
    0.70442924675343-1.57079632675     		φ = -0.86636708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35214446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.176391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86636708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.639177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29095 KachelY 43208 -0.35214446 -0.86636708 -20.176391 -49.639177
    Oben rechts KachelX + 1 29096 KachelY 43208 -0.35204859 -0.86636708 -20.170898 -49.639177
    Unten links KachelX 29095 KachelY + 1 43209 -0.35214446 -0.86642917 -20.176391 -49.642735
    Unten rechts KachelX + 1 29096 KachelY + 1 43209 -0.35204859 -0.86642917 -20.170898 -49.642735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86636708--0.86642917) × R
    6.20900000000146e-05 × 6371000     		dl = 395.575390000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86636708--0.86642917) × R
    6.20900000000146e-05 × 6371000     		dr = 395.575390000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35214446--0.35204859) × cos(-0.86636708) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.647599031773501 × 6371000     		do = 395.545568471087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35214446--0.35204859) × cos(-0.86642917) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.647551719106619 × 6371000     		du = 395.516670472789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86636708)-sin(-0.86642917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647599031773501-0.647551719106619)×R²
    abs(-0.35204859--0.35214446)×4.73126668825152e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73126668825152e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73126668825152e-05×40589641000000     		ar = 156462.376892468m²