Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29095 / 43047
↖ ↑ ↗
← S 49.063069°
W 20.176391°		 ← 400.21 m → S 49.063069°
W 20.170898°		 →
↑
400.23 m
↓
↑
400.23 m
↓
S 49.066669°
W 20.176391°		 ← 400.18 m →
160 167 m²		 S 49.066669°
W 20.170898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443962097167969 y=0.656852722167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443962097167969 × 216)
    floor (0.443962097167969 × 65536)
    floor (29095.5)     		tx = 29095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656852722167969 × 216)
    floor (0.656852722167969 × 65536)
    floor (43047.5)     		ty = 43047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29095 / 43047 ti = "16/29095/43047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29095/43047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29095 ÷ 216
    29095 ÷ 65536     		x = 0.443954467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43047 ÷ 216
    43047 ÷ 65536     		y = 0.656845092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443954467773438 × 2 - 1) × π
    -0.112091064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35214446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656845092773438 × 2 - 1) × π
    -0.313690185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.985486782389114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35214446} λ = -0.35214446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.985486782389114))-π/2
    2×atan(0.373257487534942)-π/2
    2×0.357242113618455-π/2
    0.71448422723691-1.57079632675     		φ = -0.85631210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35214446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.176391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85631210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.063069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29095 KachelY 43047 -0.35214446 -0.85631210 -20.176391 -49.063069
    Oben rechts KachelX + 1 29096 KachelY 43047 -0.35204859 -0.85631210 -20.170898 -49.063069
    Unten links KachelX 29095 KachelY + 1 43048 -0.35214446 -0.85637492 -20.176391 -49.066669
    Unten rechts KachelX + 1 29096 KachelY + 1 43048 -0.35204859 -0.85637492 -20.170898 -49.066669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85631210--0.85637492) × R
    6.2820000000019e-05 × 6371000     		dl = 400.226220000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85631210--0.85637492) × R
    6.2820000000019e-05 × 6371000     		dr = 400.226220000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35214446--0.35204859) × cos(-0.85631210) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.65522787264891 × 6371000     		do = 400.205171177063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35214446--0.35204859) × cos(-0.85637492) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.655180415162382 × 6371000     		du = 400.176184724697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85631210)-sin(-0.85637492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65522787264891-0.655180415162382)×R²
    abs(-0.35204859--0.35214446)×4.7457486527902e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7457486527902e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7457486527902e-05×40589641000000     		ar = 160166.802367933m²