Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29093 / 43052
↖ ↑ ↗
← S 49.081062°
W 20.187378°		 ← 400.06 m → S 49.081062°
W 20.181885°		 →
↑
400.04 m
↓
↑
400.04 m
↓
S 49.084660°
W 20.187378°		 ← 400.03 m →
160 032 m²		 S 49.084660°
W 20.181885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443931579589844 y=0.656929016113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443931579589844 × 216)
    floor (0.443931579589844 × 65536)
    floor (29093.5)     		tx = 29093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656929016113281 × 216)
    floor (0.656929016113281 × 65536)
    floor (43052.5)     		ty = 43052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29093 / 43052 ti = "16/29093/43052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29093/43052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29093 ÷ 216
    29093 ÷ 65536     		x = 0.443923950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43052 ÷ 216
    43052 ÷ 65536     		y = 0.65692138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443923950195312 × 2 - 1) × π
    -0.112152099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35233621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65692138671875 × 2 - 1) × π
    -0.3138427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.985966151385315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35233621} λ = -0.35233621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.985966151385315))-π/2
    2×atan(0.37307860234725)-π/2
    2×0.357085094089643-π/2
    0.714170188179285-1.57079632675     		φ = -0.85662614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35233621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.187378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85662614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.081062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29093 KachelY 43052 -0.35233621 -0.85662614 -20.187378 -49.081062
    Oben rechts KachelX + 1 29094 KachelY 43052 -0.35224034 -0.85662614 -20.181885 -49.081062
    Unten links KachelX 29093 KachelY + 1 43053 -0.35233621 -0.85668893 -20.187378 -49.084660
    Unten rechts KachelX + 1 29094 KachelY + 1 43053 -0.35224034 -0.85668893 -20.181885 -49.084660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85662614--0.85668893) × R
    6.27899999999793e-05 × 6371000     		dl = 400.035089999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85662614--0.85668893) × R
    6.27899999999793e-05 × 6371000     		dr = 400.035089999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35233621--0.35224034) × cos(-0.85662614) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.654990604700638 × 6371000     		do = 400.060250816045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35233621--0.35224034) × cos(-0.85668893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.654943156960932 × 6371000     		du = 400.031270316919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85662614)-sin(-0.85668893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654990604700638-0.654943156960932)×R²
    abs(-0.35224034--0.35233621)×4.74477397054418e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74477397054418e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74477397054418e-05×40589641000000     		ar = 160032.341884842m²