Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29092 / 43180
↖ ↑ ↗
← S 49.539469°
W 20.192871°		 ← 396.40 m → S 49.539469°
W 20.187378°		 →
↑
396.40 m
↓
↑
396.40 m
↓
S 49.543034°
W 20.192871°		 ← 396.37 m →
157 127 m²		 S 49.543034°
W 20.187378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443916320800781 y=0.658882141113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443916320800781 × 216)
    floor (0.443916320800781 × 65536)
    floor (29092.5)     		tx = 29092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658882141113281 × 216)
    floor (0.658882141113281 × 65536)
    floor (43180.5)     		ty = 43180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29092 / 43180 ti = "16/29092/43180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29092/43180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29092 ÷ 216
    29092 ÷ 65536     		x = 0.44390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43180 ÷ 216
    43180 ÷ 65536     		y = 0.65887451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.1121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35243209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65887451171875 × 2 - 1) × π
    -0.3177490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.998237997688049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35243209} λ = -0.35243209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.998237997688049))-π/2
    2×atan(0.36852821700171)-π/2
    2×0.353084741467626-π/2
    0.706169482935251-1.57079632675     		φ = -0.86462684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35243209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.192871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86462684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.539469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29092 KachelY 43180 -0.35243209 -0.86462684 -20.192871 -49.539469
    Oben rechts KachelX + 1 29093 KachelY 43180 -0.35233621 -0.86462684 -20.187378 -49.539469
    Unten links KachelX 29092 KachelY + 1 43181 -0.35243209 -0.86468906 -20.192871 -49.543034
    Unten rechts KachelX + 1 29093 KachelY + 1 43181 -0.35233621 -0.86468906 -20.187378 -49.543034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86462684--0.86468906) × R
    6.22200000000017e-05 × 6371000     		dl = 396.403620000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86462684--0.86468906) × R
    6.22200000000017e-05 × 6371000     		dr = 396.403620000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35243209--0.35233621) × cos(-0.86462684) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.648924080827522 × 6371000     		do = 396.396235181101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35243209--0.35233621) × cos(-0.86468906) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.648876739287583 × 6371000     		du = 396.367316531364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86462684)-sin(-0.86468906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648924080827522-0.648876739287583)×R²
    abs(-0.35233621--0.35243209)×4.73415399390165e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73415399390165e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73415399390165e-05×40589641000000     		ar = 157127.170902075m²