Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29092 / 19524
↖ ↑ ↗
← N 58.619777°
W 20.192871°		 ← 318.08 m → N 58.619777°
W 20.187378°		 →
↑
318.10 m
↓
↑
318.10 m
↓
N 58.616916°
W 20.192871°		 ← 318.11 m →
101 187 m²		 N 58.616916°
W 20.187378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443916320800781 y=0.297920227050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443916320800781 × 216)
    floor (0.443916320800781 × 65536)
    floor (29092.5)     		tx = 29092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297920227050781 × 216)
    floor (0.297920227050781 × 65536)
    floor (19524.5)     		ty = 19524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29092 / 19524 ti = "16/29092/19524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29092/19524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29092 ÷ 216
    29092 ÷ 65536     		x = 0.44390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19524 ÷ 216
    19524 ÷ 65536     		y = 0.29791259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.1121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35243209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29791259765625 × 2 - 1) × π
    0.4041748046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26975259713605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35243209} λ = -0.35243209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26975259713605))-π/2
    2×atan(3.55997170620114)-π/2
    2×1.2969522213243-π/2
    2.5939044426486-1.57079632675     		φ = 1.02310812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35243209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.192871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02310812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.619777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29092 KachelY 19524 -0.35243209 1.02310812 -20.192871 58.619777
    Oben rechts KachelX + 1 29093 KachelY 19524 -0.35233621 1.02310812 -20.187378 58.619777
    Unten links KachelX 29092 KachelY + 1 19525 -0.35243209 1.02305819 -20.192871 58.616916
    Unten rechts KachelX + 1 29093 KachelY + 1 19525 -0.35233621 1.02305819 -20.187378 58.616916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02310812-1.02305819) × R
    4.99300000000868e-05 × 6371000     		dl = 318.104030000553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02310812-1.02305819) × R
    4.99300000000868e-05 × 6371000     		dr = 318.104030000553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35243209--0.35233621) × cos(1.02310812) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.520714973567876 × 6371000     		do = 318.079512262073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35243209--0.35233621) × cos(1.02305819) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.520757599687027 × 6371000     		du = 318.105550490044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02310812)-sin(1.02305819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520714973567876-0.520757599687027)×R²
    abs(-0.35233621--0.35243209)×4.26261191516231e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.26261191516231e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.26261191516231e-05×40589641000000     		ar = 101186.516164853m²