Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29091 / 43275
↖ ↑ ↗
← S 49.876938°
W 20.198364°		 ← 393.61 m → S 49.876938°
W 20.192871°		 →
↑
393.60 m
↓
↑
393.60 m
↓
S 49.880478°
W 20.198364°		 ← 393.58 m →
154 920 m²		 S 49.880478°
W 20.192871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443901062011719 y=0.660331726074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443901062011719 × 216)
    floor (0.443901062011719 × 65536)
    floor (29091.5)     		tx = 29091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660331726074219 × 216)
    floor (0.660331726074219 × 65536)
    floor (43275.5)     		ty = 43275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29091 / 43275 ti = "16/29091/43275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29091/43275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29091 ÷ 216
    29091 ÷ 65536     		x = 0.443893432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43275 ÷ 216
    43275 ÷ 65536     		y = 0.660324096679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443893432617188 × 2 - 1) × π
    -0.112213134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35252796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660324096679688 × 2 - 1) × π
    -0.320648193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00734600861586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35252796} λ = -0.35252796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00734600861586))-π/2
    2×atan(0.365186897459973)-π/2
    2×0.350139770689188-π/2
    0.700279541378376-1.57079632675     		φ = -0.87051679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35252796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.198364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87051679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.876938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29091 KachelY 43275 -0.35252796 -0.87051679 -20.198364 -49.876938
    Oben rechts KachelX + 1 29092 KachelY 43275 -0.35243209 -0.87051679 -20.192871 -49.876938
    Unten links KachelX 29091 KachelY + 1 43276 -0.35252796 -0.87057857 -20.198364 -49.880478
    Unten rechts KachelX + 1 29092 KachelY + 1 43276 -0.35243209 -0.87057857 -20.192871 -49.880478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87051679--0.87057857) × R
    6.17800000000113e-05 × 6371000     		dl = 393.600380000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87051679--0.87057857) × R
    6.17800000000113e-05 × 6371000     		dr = 393.600380000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35252796--0.35243209) × cos(-0.87051679) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644431463598693 × 6371000     		do = 393.610856569273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35252796--0.35243209) × cos(-0.87057857) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644384221545915 × 6371000     		du = 393.582001701207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87051679)-sin(-0.87057857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644431463598693-0.644384221545915)×R²
    abs(-0.35243209--0.35252796)×4.72420527773965e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72420527773965e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72420527773965e-05×40589641000000     		ar = 154919.704123497m²