Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29090 / 43211
↖ ↑ ↗
← S 49.649848°
W 20.203857°		 ← 395.46 m → S 49.649848°
W 20.198364°		 →
↑
395.45 m
↓
↑
395.45 m
↓
S 49.653404°
W 20.203857°		 ← 395.43 m →
156 378 m²		 S 49.653404°
W 20.198364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443885803222656 y=0.659355163574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443885803222656 × 216)
    floor (0.443885803222656 × 65536)
    floor (29090.5)     		tx = 29090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659355163574219 × 216)
    floor (0.659355163574219 × 65536)
    floor (43211.5)     		ty = 43211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29090 / 43211 ti = "16/29090/43211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29090/43211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29090 ÷ 216
    29090 ÷ 65536     		x = 0.443878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43211 ÷ 216
    43211 ÷ 65536     		y = 0.659347534179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443878173828125 × 2 - 1) × π
    -0.11224365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35262383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659347534179688 × 2 - 1) × π
    -0.318695068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00121008546449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35262383} λ = -0.35262383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00121008546449))-π/2
    2×atan(0.367434544842574)-π/2
    2×0.352121501912639-π/2
    0.704243003825278-1.57079632675     		φ = -0.86655332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35262383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.203857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86655332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.649848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29090 KachelY 43211 -0.35262383 -0.86655332 -20.203857 -49.649848
    Oben rechts KachelX + 1 29091 KachelY 43211 -0.35252796 -0.86655332 -20.198364 -49.649848
    Unten links KachelX 29090 KachelY + 1 43212 -0.35262383 -0.86661539 -20.203857 -49.653404
    Unten rechts KachelX + 1 29091 KachelY + 1 43212 -0.35252796 -0.86661539 -20.198364 -49.653404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86655332--0.86661539) × R
    6.20700000000252e-05 × 6371000     		dl = 395.44797000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86655332--0.86661539) × R
    6.20700000000252e-05 × 6371000     		dr = 395.44797000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35262383--0.35252796) × cos(-0.86655332) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.647457109146831 × 6371000     		do = 395.45888386666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35262383--0.35252796) × cos(-0.86661539) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.647409804235281 × 6371000     		du = 395.429990605224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86655332)-sin(-0.86661539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647457109146831-0.647409804235281)×R²
    abs(-0.35252796--0.35262383)×4.73049115498059e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.73049115498059e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.73049115498059e-05×40589641000000     		ar = 156377.700002977m²