Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29089 / 43361
↖ ↑ ↗
← S 50.180416°
W 20.209351°		 ← 391.17 m → S 50.180416°
W 20.203857°		 →
↑
391.12 m
↓
↑
391.12 m
↓
S 50.183933°
W 20.209351°		 ← 391.14 m →
152 988 m²		 S 50.183933°
W 20.203857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443870544433594 y=0.661643981933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443870544433594 × 216)
    floor (0.443870544433594 × 65536)
    floor (29089.5)     		tx = 29089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661643981933594 × 216)
    floor (0.661643981933594 × 65536)
    floor (43361.5)     		ty = 43361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29089 / 43361 ti = "16/29089/43361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29089/43361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29089 ÷ 216
    29089 ÷ 65536     		x = 0.443862915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43361 ÷ 216
    43361 ÷ 65536     		y = 0.661636352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443862915039062 × 2 - 1) × π
    -0.112274169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35271971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661636352539062 × 2 - 1) × π
    -0.323272705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.01559115535051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35271971} λ = -0.35271971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01559115535051))-π/2
    2×atan(0.362188257008)-π/2
    2×0.347491424482097-π/2
    0.694982848964193-1.57079632675     		φ = -0.87581348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35271971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.209351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87581348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.180416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29089 KachelY 43361 -0.35271971 -0.87581348 -20.209351 -50.180416
    Oben rechts KachelX + 1 29090 KachelY 43361 -0.35262383 -0.87581348 -20.203857 -50.180416
    Unten links KachelX 29089 KachelY + 1 43362 -0.35271971 -0.87587487 -20.209351 -50.183933
    Unten rechts KachelX + 1 29090 KachelY + 1 43362 -0.35262383 -0.87587487 -20.203857 -50.183933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87581348--0.87587487) × R
    6.1389999999939e-05 × 6371000     		dl = 391.115689999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87581348--0.87587487) × R
    6.1389999999939e-05 × 6371000     		dr = 391.115689999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35271971--0.35262383) × cos(-0.87581348) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.640372264854259 × 6371000     		do = 391.172345737146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35271971--0.35262383) × cos(-0.87587487) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.640325112156499 × 6371000     		du = 391.143542441933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87581348)-sin(-0.87587487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640372264854259-0.640325112156499)×R²
    abs(-0.35262383--0.35271971)×4.71526977606773e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.71526977606773e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.71526977606773e-05×40589641000000     		ar = 152988.009249809m²