Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29087 / 42836
↖ ↑ ↗
← S 48.297813°
W 20.220337°		 ← 406.37 m → S 48.297813°
W 20.214844°		 →
↑
406.34 m
↓
↑
406.34 m
↓
S 48.301467°
W 20.220337°		 ← 406.35 m →
165 121 m²		 S 48.301467°
W 20.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443840026855469 y=0.653633117675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443840026855469 × 216)
    floor (0.443840026855469 × 65536)
    floor (29087.5)     		tx = 29087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653633117675781 × 216)
    floor (0.653633117675781 × 65536)
    floor (42836.5)     		ty = 42836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29087 / 42836 ti = "16/29087/42836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29087/42836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29087 ÷ 216
    29087 ÷ 65536     		x = 0.443832397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42836 ÷ 216
    42836 ÷ 65536     		y = 0.65362548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443832397460938 × 2 - 1) × π
    -0.112335205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35291146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65362548828125 × 2 - 1) × π
    -0.3072509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.965257410749451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35291146} λ = -0.35291146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.965257410749451))-π/2
    2×atan(0.380885143189311)-π/2
    2×0.363920238654687-π/2
    0.727840477309373-1.57079632675     		φ = -0.84295585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35291146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.220337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84295585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.297813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29087 KachelY 42836 -0.35291146 -0.84295585 -20.220337 -48.297813
    Oben rechts KachelX + 1 29088 KachelY 42836 -0.35281558 -0.84295585 -20.214844 -48.297813
    Unten links KachelX 29087 KachelY + 1 42837 -0.35291146 -0.84301963 -20.220337 -48.301467
    Unten rechts KachelX + 1 29088 KachelY + 1 42837 -0.35281558 -0.84301963 -20.214844 -48.301467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84295585--0.84301963) × R
    6.37800000000688e-05 × 6371000     		dl = 406.342380000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84295585--0.84301963) × R
    6.37800000000688e-05 × 6371000     		dr = 406.342380000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35291146--0.35281558) × cos(-0.84295585) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.665258859854601 × 6371000     		do = 406.374359125264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35291146--0.35281558) × cos(-0.84301963) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.665211239538164 × 6371000     		du = 406.345270184491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84295585)-sin(-0.84301963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665258859854601-0.665211239538164)×R²
    abs(-0.35281558--0.35291146)×4.76203164371247e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76203164371247e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76203164371247e-05×40589641000000     		ar = 165121.214278987m²