Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29087 / 14116
↖ ↑ ↗
← N 71.009811°
W 20.220337°		 ← 198.77 m → N 71.009811°
W 20.214844°		 →
↑
198.78 m
↓
↑
198.78 m
↓
N 71.008023°
W 20.220337°		 ← 198.79 m →
39 513 m²		 N 71.008023°
W 20.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443840026855469 y=0.215400695800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443840026855469 × 216)
    floor (0.443840026855469 × 65536)
    floor (29087.5)     		tx = 29087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215400695800781 × 216)
    floor (0.215400695800781 × 65536)
    floor (14116.5)     		ty = 14116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29087 / 14116 ti = "16/29087/14116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29087/14116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29087 ÷ 216
    29087 ÷ 65536     		x = 0.443832397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14116 ÷ 216
    14116 ÷ 65536     		y = 0.21539306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443832397460938 × 2 - 1) × π
    -0.112335205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35291146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21539306640625 × 2 - 1) × π
    0.5692138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78823810342657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35291146} λ = -0.35291146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78823810342657))-π/2
    2×atan(5.97890896161586)-π/2
    2×1.40507566509543-π/2
    2.81015133019086-1.57079632675     		φ = 1.23935500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35291146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.220337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23935500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.009811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29087 KachelY 14116 -0.35291146 1.23935500 -20.220337 71.009811
    Oben rechts KachelX + 1 29088 KachelY 14116 -0.35281558 1.23935500 -20.214844 71.009811
    Unten links KachelX 29087 KachelY + 1 14117 -0.35291146 1.23932380 -20.220337 71.008023
    Unten rechts KachelX + 1 29088 KachelY + 1 14117 -0.35281558 1.23932380 -20.214844 71.008023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23935500-1.23932380) × R
    3.1200000000009e-05 × 6371000     		dl = 198.775200000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23935500-1.23932380) × R
    3.1200000000009e-05 × 6371000     		dr = 198.775200000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35291146--0.35281558) × cos(1.23935500) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.325406247514438 × 6371000     		do = 198.774887895426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35291146--0.35281558) × cos(1.23932380) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.325435749274497 × 6371000     		du = 198.79290908922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23935500)-sin(1.23932380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325406247514438-0.325435749274497)×R²
    abs(-0.35281558--0.35291146)×2.95017600582259e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.95017600582259e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.95017600582259e-05×40589641000000     		ar = 39513.3091828186m²