Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29085 / 43179
↖ ↑ ↗
← S 49.535904°
W 20.231323°		 ← 396.38 m → S 49.535904°
W 20.225830°		 →
↑
396.34 m
↓
↑
396.34 m
↓
S 49.539469°
W 20.231323°		 ← 396.35 m →
157 097 m²		 S 49.539469°
W 20.225830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443809509277344 y=0.658866882324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443809509277344 × 216)
    floor (0.443809509277344 × 65536)
    floor (29085.5)     		tx = 29085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658866882324219 × 216)
    floor (0.658866882324219 × 65536)
    floor (43179.5)     		ty = 43179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29085 / 43179 ti = "16/29085/43179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29085/43179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29085 ÷ 216
    29085 ÷ 65536     		x = 0.443801879882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43179 ÷ 216
    43179 ÷ 65536     		y = 0.658859252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443801879882812 × 2 - 1) × π
    -0.112396240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35310320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658859252929688 × 2 - 1) × π
    -0.317718505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.998142123888809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35310320} λ = -0.35310320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.998142123888809))-π/2
    2×atan(0.368563550895771)-π/2
    2×0.353115850010595-π/2
    0.706231700021189-1.57079632675     		φ = -0.86456463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35310320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.231323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86456463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.535904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29085 KachelY 43179 -0.35310320 -0.86456463 -20.231323 -49.535904
    Oben rechts KachelX + 1 29086 KachelY 43179 -0.35300733 -0.86456463 -20.225830 -49.535904
    Unten links KachelX 29085 KachelY + 1 43180 -0.35310320 -0.86462684 -20.231323 -49.539469
    Unten rechts KachelX + 1 29086 KachelY + 1 43180 -0.35300733 -0.86462684 -20.225830 -49.539469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86456463--0.86462684) × R
    6.22100000000625e-05 × 6371000     		dl = 396.339910000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86456463--0.86462684) × R
    6.22100000000625e-05 × 6371000     		dr = 396.339910000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35310320--0.35300733) × cos(-0.86456463) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.648971412247135 × 6371000     		do = 396.38380168017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35310320--0.35300733) × cos(-0.86462684) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.648924080827522 × 6371000     		du = 396.354892227933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86456463)-sin(-0.86462684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648971412247135-0.648924080827522)×R²
    abs(-0.35300733--0.35310320)×4.73314196127728e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73314196127728e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73314196127728e-05×40589641000000     		ar = 157096.991349095m²