Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29084 / 43244
↖ ↑ ↗
← S 49.767074°
W 20.236817°		 ← 394.55 m → S 49.767074°
W 20.231323°		 →
↑
394.49 m
↓
↑
394.49 m
↓
S 49.770622°
W 20.236817°		 ← 394.52 m →
155 640 m²		 S 49.770622°
W 20.231323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443794250488281 y=0.659858703613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443794250488281 × 216)
    floor (0.443794250488281 × 65536)
    floor (29084.5)     		tx = 29084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659858703613281 × 216)
    floor (0.659858703613281 × 65536)
    floor (43244.5)     		ty = 43244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29084 / 43244 ti = "16/29084/43244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29084/43244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29084 ÷ 216
    29084 ÷ 65536     		x = 0.44378662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43244 ÷ 216
    43244 ÷ 65536     		y = 0.65985107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44378662109375 × 2 - 1) × π
    -0.1124267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35319908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65985107421875 × 2 - 1) × π
    -0.3197021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00437392083942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35319908} λ = -0.35319908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00437392083942))-π/2
    2×atan(0.366273879476878)-π/2
    2×0.351098512572013-π/2
    0.702197025144026-1.57079632675     		φ = -0.86859930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35319908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.236817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86859930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.767074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29084 KachelY 43244 -0.35319908 -0.86859930 -20.236817 -49.767074
    Oben rechts KachelX + 1 29085 KachelY 43244 -0.35310320 -0.86859930 -20.231323 -49.767074
    Unten links KachelX 29084 KachelY + 1 43245 -0.35319908 -0.86866122 -20.236817 -49.770622
    Unten rechts KachelX + 1 29085 KachelY + 1 43245 -0.35310320 -0.86866122 -20.231323 -49.770622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86859930--0.86866122) × R
    6.19200000000486e-05 × 6371000     		dl = 394.49232000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86859930--0.86866122) × R
    6.19200000000486e-05 × 6371000     		dr = 394.49232000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35319908--0.35310320) × cos(-0.86859930) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.645896509870014 × 6371000     		do = 394.546838980903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35319908--0.35310320) × cos(-0.86866122) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.645849237357134 × 6371000     		du = 394.517962496446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86859930)-sin(-0.86866122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645896509870014-0.645849237357134)×R²
    abs(-0.35310320--0.35319908)×4.72725128800588e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72725128800588e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72725128800588e-05×40589641000000     		ar = 155640.00213241m²