Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 29084 / 21356
↖ ↑ ↗
← N 76.281728°
W100.118408°		 ← 72.42 m → N 76.281728°
W100.115662°		 →
↑
72.44 m
↓
↑
72.44 m
↓
N 76.281076°
W100.118408°		 ← 72.42 m →
5 246 m²		 N 76.281076°
W100.115662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221897125244141 y=0.162937164306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221897125244141 × 217)
    floor (0.221897125244141 × 131072)
    floor (29084.5)     		tx = 29084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162937164306641 × 217)
    floor (0.162937164306641 × 131072)
    floor (21356.5)     		ty = 21356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29084 / 21356 ti = "17/29084/21356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29084/21356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29084 ÷ 217
    29084 ÷ 131072     		x = 0.221893310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21356 ÷ 217
    21356 ÷ 131072     		y = 0.162933349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221893310546875 × 2 - 1) × π
    -0.55621337890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.74739586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162933349609375 × 2 - 1) × π
    0.67413330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11785222521408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74739586} λ = -1.74739586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11785222521408))-π/2
    2×atan(8.31326328240837)-π/2
    2×1.45108181665984-π/2
    2.90216363331969-1.57079632675     		φ = 1.33136731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74739586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.118408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33136731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.281728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29084 KachelY 21356 -1.74739586 1.33136731 -100.118408 76.281728
    Oben rechts KachelX + 1 29085 KachelY 21356 -1.74734793 1.33136731 -100.115662 76.281728
    Unten links KachelX 29084 KachelY + 1 21357 -1.74739586 1.33135594 -100.118408 76.281076
    Unten rechts KachelX + 1 29085 KachelY + 1 21357 -1.74734793 1.33135594 -100.115662 76.281076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33136731-1.33135594) × R
    1.13700000001771e-05 × 6371000     		dl = 72.4382700011281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33136731-1.33135594) × R
    1.13700000001771e-05 × 6371000     		dr = 72.4382700011281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74739586--1.74734793) × cos(1.33136731) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.237147970039031 × 6371000     		do = 72.4159855412064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74739586--1.74734793) × cos(1.33135594) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.23715901567786 × 6371000     		du = 72.4193584599019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33136731)-sin(1.33135594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237147970039031-0.23715901567786)×R²
    abs(-1.74734793--1.74739586)×1.1045638828977e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.1045638828977e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.1045638828977e-05×40589641000000     		ar = 5245.81087732007m²