Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29083 / 21355
↖ ↑ ↗
← N 76.282379°
W100.121155°		 ← 72.43 m → N 76.282379°
W100.118408°		 →
↑
72.37 m
↓
↑
72.37 m
↓
N 76.281728°
W100.121155°		 ← 72.43 m →
5 242 m²		 N 76.281728°
W100.118408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221889495849609 y=0.162929534912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221889495849609 × 217)
    floor (0.221889495849609 × 131072)
    floor (29083.5)     		tx = 29083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162929534912109 × 217)
    floor (0.162929534912109 × 131072)
    floor (21355.5)     		ty = 21355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29083 / 21355 ti = "17/29083/21355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29083/21355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29083 ÷ 217
    29083 ÷ 131072     		x = 0.221885681152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21355 ÷ 217
    21355 ÷ 131072     		y = 0.162925720214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221885681152344 × 2 - 1) × π
    -0.556228637695312 × 3.1415926535     		Λ = -1.74744380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162925720214844 × 2 - 1) × π
    0.674148559570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.1179001621137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74744380} λ = -1.74744380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1179001621137))-π/2
    2×atan(8.31366180402772)-π/2
    2×1.45108750059679-π/2
    2.90217500119359-1.57079632675     		φ = 1.33137867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74744380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.121155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33137867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.282379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29083 KachelY 21355 -1.74744380 1.33137867 -100.121155 76.282379
    Oben rechts KachelX + 1 29084 KachelY 21355 -1.74739586 1.33137867 -100.118408 76.282379
    Unten links KachelX 29083 KachelY + 1 21356 -1.74744380 1.33136731 -100.121155 76.281728
    Unten rechts KachelX + 1 29084 KachelY + 1 21356 -1.74739586 1.33136731 -100.118408 76.281728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33137867-1.33136731) × R
    1.13600000000158e-05 × 6371000     		dl = 72.3745600001007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33137867-1.33136731) × R
    1.13600000000158e-05 × 6371000     		dr = 72.3745600001007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74744380--1.74739586) × cos(1.33137867) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.237136934084306 × 6371000     		do = 72.4277235743185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74744380--1.74739586) × cos(1.33136731) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.237147970039031 × 6371000     		du = 72.4310942389567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33137867)-sin(1.33136731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237136934084306-0.237147970039031)×R²
    abs(-1.74739586--1.74744380)×1.10359547242089e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.10359547242089e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.10359547242089e-05×40589641000000     		ar = 5242.04660077686m²