Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29083 / 19333
↖ ↑ ↗
← N 59.161851°
W 20.242310°		 ← 313.10 m → N 59.161851°
W 20.236817°		 →
↑
313.07 m
↓
↑
313.07 m
↓
N 59.159036°
W 20.242310°		 ← 313.12 m →
98 026 m²		 N 59.159036°
W 20.236817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443778991699219 y=0.295005798339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443778991699219 × 216)
    floor (0.443778991699219 × 65536)
    floor (29083.5)     		tx = 29083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295005798339844 × 216)
    floor (0.295005798339844 × 65536)
    floor (19333.5)     		ty = 19333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29083 / 19333 ti = "16/29083/19333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29083/19333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29083 ÷ 216
    29083 ÷ 65536     		x = 0.443771362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19333 ÷ 216
    19333 ÷ 65536     		y = 0.294998168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443771362304688 × 2 - 1) × π
    -0.112457275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35329495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294998168945312 × 2 - 1) × π
    0.410003662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28806449279091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35329495} λ = -0.35329495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28806449279091))-π/2
    2×atan(3.62576207134808)-π/2
    2×1.30168271582124-π/2
    2.60336543164247-1.57079632675     		φ = 1.03256910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35329495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.242310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03256910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.161851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29083 KachelY 19333 -0.35329495 1.03256910 -20.242310 59.161851
    Oben rechts KachelX + 1 29084 KachelY 19333 -0.35319908 1.03256910 -20.236817 59.161851
    Unten links KachelX 29083 KachelY + 1 19334 -0.35329495 1.03251996 -20.242310 59.159036
    Unten rechts KachelX + 1 29084 KachelY + 1 19334 -0.35319908 1.03251996 -20.236817 59.159036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03256910-1.03251996) × R
    4.91400000000031e-05 × 6371000     		dl = 313.07094000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03256910-1.03251996) × R
    4.91400000000031e-05 × 6371000     		dr = 313.07094000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35329495--0.35319908) × cos(1.03256910) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.512614661587674 × 6371000     		do = 313.098766020433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35329495--0.35319908) × cos(1.03251996) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.512656853495572 × 6371000     		du = 313.12453632177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03256910)-sin(1.03251996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512614661587674-0.512656853495572)×R²
    abs(-0.35319908--0.35329495)×4.21919078983368e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.21919078983368e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.21919078983368e-05×40589641000000     		ar = 98026.1589766589m²