Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29082 / 42842
↖ ↑ ↗
← S 48.319734°
W 20.247803°		 ← 406.16 m → S 48.319734°
W 20.242310°		 →
↑
406.15 m
↓
↑
406.15 m
↓
S 48.323386°
W 20.247803°		 ← 406.13 m →
164 955 m²		 S 48.323386°
W 20.242310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443763732910156 y=0.653724670410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443763732910156 × 216)
    floor (0.443763732910156 × 65536)
    floor (29082.5)     		tx = 29082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653724670410156 × 216)
    floor (0.653724670410156 × 65536)
    floor (42842.5)     		ty = 42842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29082 / 42842 ti = "16/29082/42842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29082/42842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29082 ÷ 216
    29082 ÷ 65536     		x = 0.443756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42842 ÷ 216
    42842 ÷ 65536     		y = 0.653717041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.11248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35339082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653717041015625 × 2 - 1) × π
    -0.30743408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.965832653544891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35339082} λ = -0.35339082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.965832653544891))-π/2
    2×atan(0.38066610476098)-π/2
    2×0.36372893705952-π/2
    0.727457874119039-1.57079632675     		φ = -0.84333845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35339082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.247803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84333845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.319734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29082 KachelY 42842 -0.35339082 -0.84333845 -20.247803 -48.319734
    Oben rechts KachelX + 1 29083 KachelY 42842 -0.35329495 -0.84333845 -20.242310 -48.319734
    Unten links KachelX 29082 KachelY + 1 42843 -0.35339082 -0.84340220 -20.247803 -48.323386
    Unten rechts KachelX + 1 29083 KachelY + 1 42843 -0.35329495 -0.84340220 -20.242310 -48.323386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84333845--0.84340220) × R
    6.37500000000291e-05 × 6371000     		dl = 406.151250000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84333845--0.84340220) × R
    6.37500000000291e-05 × 6371000     		dr = 406.151250000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35339082--0.35329495) × cos(-0.84333845) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664973157119159 × 6371000     		do = 406.157471746662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35339082--0.35329495) × cos(-0.84340220) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.66492554298028 × 6371000     		du = 406.128389612955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84333845)-sin(-0.84340220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664973157119159-0.66492554298028)×R²
    abs(-0.35329495--0.35339082)×4.7614138878993e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7614138878993e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7614138878993e-05×40589641000000     		ar = 164955.459030093m²