Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29081 / 43273
↖ ↑ ↗
← S 49.869857°
W 20.253296°		 ← 393.71 m → S 49.869857°
W 20.247803°		 →
↑
393.66 m
↓
↑
393.66 m
↓
S 49.873398°
W 20.253296°		 ← 393.68 m →
154 984 m²		 S 49.873398°
W 20.247803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443748474121094 y=0.660301208496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443748474121094 × 216)
    floor (0.443748474121094 × 65536)
    floor (29081.5)     		tx = 29081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660301208496094 × 216)
    floor (0.660301208496094 × 65536)
    floor (43273.5)     		ty = 43273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29081 / 43273 ti = "16/29081/43273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29081/43273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29081 ÷ 216
    29081 ÷ 65536     		x = 0.443740844726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43273 ÷ 216
    43273 ÷ 65536     		y = 0.660293579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443740844726562 × 2 - 1) × π
    -0.112518310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35348670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660293579101562 × 2 - 1) × π
    -0.320587158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00715426101738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35348670} λ = -0.35348670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00715426101738))-π/2
    2×atan(0.365256927884426)-π/2
    2×0.35020155931181-π/2
    0.700403118623621-1.57079632675     		φ = -0.87039321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35348670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.253296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87039321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.869857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29081 KachelY 43273 -0.35348670 -0.87039321 -20.253296 -49.869857
    Oben rechts KachelX + 1 29082 KachelY 43273 -0.35339082 -0.87039321 -20.247803 -49.869857
    Unten links KachelX 29081 KachelY + 1 43274 -0.35348670 -0.87045500 -20.253296 -49.873398
    Unten rechts KachelX + 1 29082 KachelY + 1 43274 -0.35339082 -0.87045500 -20.247803 -49.873398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87039321--0.87045500) × R
    6.17899999999505e-05 × 6371000     		dl = 393.664089999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87039321--0.87045500) × R
    6.17899999999505e-05 × 6371000     		dr = 393.664089999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35348670--0.35339082) × cos(-0.87039321) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.644525955616779 × 6371000     		do = 393.709633886894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35348670--0.35339082) × cos(-0.87045500) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.644478710838047 × 6371000     		du = 393.680774343883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87039321)-sin(-0.87045500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644525955616779-0.644478710838047)×R²
    abs(-0.35339082--0.35348670)×4.72447787319696e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72447787319696e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72447787319696e-05×40589641000000     		ar = 154983.664314671m²