Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29080 / 43272
↖ ↑ ↗
← S 49.866317°
W 20.258789°		 ← 393.70 m → S 49.866317°
W 20.253296°		 →
↑
393.73 m
↓
↑
393.73 m
↓
S 49.869857°
W 20.258789°		 ← 393.67 m →
155 004 m²		 S 49.869857°
W 20.253296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443733215332031 y=0.660285949707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443733215332031 × 216)
    floor (0.443733215332031 × 65536)
    floor (29080.5)     		tx = 29080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660285949707031 × 216)
    floor (0.660285949707031 × 65536)
    floor (43272.5)     		ty = 43272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29080 / 43272 ti = "16/29080/43272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29080/43272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29080 ÷ 216
    29080 ÷ 65536     		x = 0.4437255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43272 ÷ 216
    43272 ÷ 65536     		y = 0.6602783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4437255859375 × 2 - 1) × π
    -0.112548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35358257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6602783203125 × 2 - 1) × π
    -0.320556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00705838721814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35358257} λ = -0.35358257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00705838721814))-π/2
    2×atan(0.365291948132537)-π/2
    2×0.350232457020335-π/2
    0.70046491404067-1.57079632675     		φ = -0.87033141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35358257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.258789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87033141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.866317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29080 KachelY 43272 -0.35358257 -0.87033141 -20.258789 -49.866317
    Oben rechts KachelX + 1 29081 KachelY 43272 -0.35348670 -0.87033141 -20.253296 -49.866317
    Unten links KachelX 29080 KachelY + 1 43273 -0.35358257 -0.87039321 -20.258789 -49.869857
    Unten rechts KachelX + 1 29081 KachelY + 1 43273 -0.35348670 -0.87039321 -20.253296 -49.869857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87033141--0.87039321) × R
    6.18000000000007e-05 × 6371000     		dl = 393.727800000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87033141--0.87039321) × R
    6.18000000000007e-05 × 6371000     		dr = 393.727800000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35358257--0.35348670) × cos(-0.87033141) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644573205580134 × 6371000     		do = 393.697430838033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35358257--0.35348670) × cos(-0.87039321) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644525955616779 × 6371000     		du = 393.668571138283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87033141)-sin(-0.87039321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644573205580134-0.644525955616779)×R²
    abs(-0.35348670--0.35358257)×4.72499633551449e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72499633551449e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72499633551449e-05×40589641000000     		ar = 155003.941926053m²