Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29079 / 19766
↖ ↑ ↗
← N 57.920683°
W 20.264282°		 ← 324.42 m → N 57.920683°
W 20.258789°		 →
↑
324.41 m
↓
↑
324.41 m
↓
N 57.917765°
W 20.264282°		 ← 324.45 m →
105 249 m²		 N 57.917765°
W 20.258789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443717956542969 y=0.301612854003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443717956542969 × 216)
    floor (0.443717956542969 × 65536)
    floor (29079.5)     		tx = 29079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301612854003906 × 216)
    floor (0.301612854003906 × 65536)
    floor (19766.5)     		ty = 19766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29079 / 19766 ti = "16/29079/19766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29079/19766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29079 ÷ 216
    29079 ÷ 65536     		x = 0.443710327148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19766 ÷ 216
    19766 ÷ 65536     		y = 0.301605224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443710327148438 × 2 - 1) × π
    -0.112579345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35367845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301605224609375 × 2 - 1) × π
    0.39678955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24655113771994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35367845} λ = -0.35367845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24655113771994))-π/2
    2×atan(3.4783259796536)-π/2
    2×1.29085147506649-π/2
    2.58170295013299-1.57079632675     		φ = 1.01090662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35367845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.264282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01090662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.920683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29079 KachelY 19766 -0.35367845 1.01090662 -20.264282 57.920683
    Oben rechts KachelX + 1 29080 KachelY 19766 -0.35358257 1.01090662 -20.258789 57.920683
    Unten links KachelX 29079 KachelY + 1 19767 -0.35367845 1.01085570 -20.264282 57.917765
    Unten rechts KachelX + 1 29080 KachelY + 1 19767 -0.35358257 1.01085570 -20.258789 57.917765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01090662-1.01085570) × R
    5.09200000000654e-05 × 6371000     		dl = 324.411320000416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01090662-1.01085570) × R
    5.09200000000654e-05 × 6371000     		dr = 324.411320000416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35367845--0.35358257) × cos(1.01090662) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.531092748208507 × 6371000     		do = 324.418791260409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35367845--0.35358257) × cos(1.01085570) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.531135892733169 × 6371000     		du = 324.445146157153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01090662)-sin(1.01085570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531092748208507-0.531135892733169)×R²
    abs(-0.35358257--0.35367845)×4.31445246615869e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.31445246615869e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.31445246615869e-05×40589641000000     		ar = 105249.403241929m²