Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29078 / 43158
↖ ↑ ↗
← S 49.460984°
W 20.269775°		 ← 396.99 m → S 49.460984°
W 20.264282°		 →
↑
396.98 m
↓
↑
396.98 m
↓
S 49.464554°
W 20.269775°		 ← 396.96 m →
157 591 m²		 S 49.464554°
W 20.264282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443702697753906 y=0.658546447753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443702697753906 × 216)
    floor (0.443702697753906 × 65536)
    floor (29078.5)     		tx = 29078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658546447753906 × 216)
    floor (0.658546447753906 × 65536)
    floor (43158.5)     		ty = 43158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29078 / 43158 ti = "16/29078/43158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29078/43158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29078 ÷ 216
    29078 ÷ 65536     		x = 0.443695068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43158 ÷ 216
    43158 ÷ 65536     		y = 0.658538818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443695068359375 × 2 - 1) × π
    -0.11260986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35377432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658538818359375 × 2 - 1) × π
    -0.31707763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.996128774104767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35377432} λ = -0.35377432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.996128774104767))-π/2
    2×atan(0.369306345743382)-π/2
    2×0.353769653667899-π/2
    0.707539307335797-1.57079632675     		φ = -0.86325702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35377432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.269775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86325702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.460984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29078 KachelY 43158 -0.35377432 -0.86325702 -20.269775 -49.460984
    Oben rechts KachelX + 1 29079 KachelY 43158 -0.35367845 -0.86325702 -20.264282 -49.460984
    Unten links KachelX 29078 KachelY + 1 43159 -0.35377432 -0.86331933 -20.269775 -49.464554
    Unten rechts KachelX + 1 29079 KachelY + 1 43159 -0.35367845 -0.86331933 -20.264282 -49.464554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86325702--0.86331933) × R
    6.23100000000099e-05 × 6371000     		dl = 396.977010000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86325702--0.86331933) × R
    6.23100000000099e-05 × 6371000     		dr = 396.977010000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35377432--0.35367845) × cos(-0.86325702) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.649965703560135 × 6371000     		do = 396.991102653967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35377432--0.35367845) × cos(-0.86331933) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.649918348970146 × 6371000     		du = 396.962179049548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86325702)-sin(-0.86331933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649965703560135-0.649918348970146)×R²
    abs(-0.35367845--0.35377432)×4.73545899890571e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73545899890571e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73545899890571e-05×40589641000000     		ar = 157590.59997618m²