Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29078 / 14093
↖ ↑ ↗
← N 71.050881°
W 20.269775°		 ← 198.34 m → N 71.050881°
W 20.264282°		 →
↑
198.39 m
↓
↑
198.39 m
↓
N 71.049097°
W 20.269775°		 ← 198.36 m →
39 351 m²		 N 71.049097°
W 20.264282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443702697753906 y=0.215049743652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443702697753906 × 216)
    floor (0.443702697753906 × 65536)
    floor (29078.5)     		tx = 29078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215049743652344 × 216)
    floor (0.215049743652344 × 65536)
    floor (14093.5)     		ty = 14093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29078 / 14093 ti = "16/29078/14093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29078/14093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29078 ÷ 216
    29078 ÷ 65536     		x = 0.443695068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14093 ÷ 216
    14093 ÷ 65536     		y = 0.215042114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443695068359375 × 2 - 1) × π
    -0.11260986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35377432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215042114257812 × 2 - 1) × π
    0.569915771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7904432008091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35377432} λ = -0.35377432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7904432008091))-π/2
    2×atan(5.99210758489414)-π/2
    2×1.40543406751415-π/2
    2.81086813502831-1.57079632675     		φ = 1.24007181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35377432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.269775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24007181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.050881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29078 KachelY 14093 -0.35377432 1.24007181 -20.269775 71.050881
    Oben rechts KachelX + 1 29079 KachelY 14093 -0.35367845 1.24007181 -20.264282 71.050881
    Unten links KachelX 29078 KachelY + 1 14094 -0.35377432 1.24004067 -20.269775 71.049097
    Unten rechts KachelX + 1 29079 KachelY + 1 14094 -0.35367845 1.24004067 -20.264282 71.049097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24007181-1.24004067) × R
    3.11400000001516e-05 × 6371000     		dl = 198.392940000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24007181-1.24004067) × R
    3.11400000001516e-05 × 6371000     		dr = 198.392940000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35377432--0.35367845) × cos(1.24007181) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324728366852399 × 6371000     		do = 198.340115045515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35377432--0.35367845) × cos(1.24004067) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324757819134915 × 6371000     		du = 198.358104139474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24007181)-sin(1.24004067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324728366852399-0.324757819134915)×R²
    abs(-0.35367845--0.35377432)×2.94522825153853e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.94522825153853e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.94522825153853e-05×40589641000000     		ar = 39351.0630017358m²