Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29078 / 14092
↖ ↑ ↗
← N 71.052665°
W 20.269775°		 ← 198.32 m → N 71.052665°
W 20.264282°		 →
↑
198.33 m
↓
↑
198.33 m
↓
N 71.050881°
W 20.269775°		 ← 198.34 m →
39 335 m²		 N 71.050881°
W 20.264282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443702697753906 y=0.215034484863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443702697753906 × 216)
    floor (0.443702697753906 × 65536)
    floor (29078.5)     		tx = 29078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215034484863281 × 216)
    floor (0.215034484863281 × 65536)
    floor (14092.5)     		ty = 14092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29078 / 14092 ti = "16/29078/14092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29078/14092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29078 ÷ 216
    29078 ÷ 65536     		x = 0.443695068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14092 ÷ 216
    14092 ÷ 65536     		y = 0.21502685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443695068359375 × 2 - 1) × π
    -0.11260986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35377432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21502685546875 × 2 - 1) × π
    0.5699462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79053907460834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35377432} λ = -0.35377432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79053907460834))-π/2
    2×atan(5.99268209855372)-π/2
    2×1.40544963327961-π/2
    2.81089926655922-1.57079632675     		φ = 1.24010294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35377432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.269775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24010294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.052665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29078 KachelY 14092 -0.35377432 1.24010294 -20.269775 71.052665
    Oben rechts KachelX + 1 29079 KachelY 14092 -0.35367845 1.24010294 -20.264282 71.052665
    Unten links KachelX 29078 KachelY + 1 14093 -0.35377432 1.24007181 -20.269775 71.050881
    Unten rechts KachelX + 1 29079 KachelY + 1 14093 -0.35367845 1.24007181 -20.264282 71.050881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24010294-1.24007181) × R
    3.11299999999903e-05 × 6371000     		dl = 198.329229999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24010294-1.24007181) × R
    3.11299999999903e-05 × 6371000     		dr = 198.329229999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35377432--0.35367845) × cos(1.24010294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324698923713169 × 6371000     		do = 198.322131536163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35377432--0.35367845) × cos(1.24007181) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324728366852399 × 6371000     		du = 198.340115045515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24010294)-sin(1.24007181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324698923713169-0.324728366852399)×R²
    abs(-0.35367845--0.35377432)×2.94431392299233e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.94431392299233e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.94431392299233e-05×40589641000000     		ar = 39334.8589702671m²