Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29077 / 43188
↖ ↑ ↗
← S 49.567978°
W 20.275268°		 ← 396.12 m → S 49.567978°
W 20.269775°		 →
↑
396.09 m
↓
↑
396.09 m
↓
S 49.571540°
W 20.275268°		 ← 396.09 m →
156 893 m²		 S 49.571540°
W 20.269775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443687438964844 y=0.659004211425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443687438964844 × 216)
    floor (0.443687438964844 × 65536)
    floor (29077.5)     		tx = 29077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659004211425781 × 216)
    floor (0.659004211425781 × 65536)
    floor (43188.5)     		ty = 43188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29077 / 43188 ti = "16/29077/43188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29077/43188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29077 ÷ 216
    29077 ÷ 65536     		x = 0.443679809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43188 ÷ 216
    43188 ÷ 65536     		y = 0.65899658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443679809570312 × 2 - 1) × π
    -0.112640380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35387019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65899658203125 × 2 - 1) × π
    -0.3179931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.99900498808197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35387019} λ = -0.35387019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.99900498808197))-π/2
    2×atan(0.368245667769506)-π/2
    2×0.352835954809743-π/2
    0.705671909619487-1.57079632675     		φ = -0.86512442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35387019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.275268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86512442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.567978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29077 KachelY 43188 -0.35387019 -0.86512442 -20.275268 -49.567978
    Oben rechts KachelX + 1 29078 KachelY 43188 -0.35377432 -0.86512442 -20.269775 -49.567978
    Unten links KachelX 29077 KachelY + 1 43189 -0.35387019 -0.86518659 -20.275268 -49.571540
    Unten rechts KachelX + 1 29078 KachelY + 1 43189 -0.35377432 -0.86518659 -20.269775 -49.571540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86512442--0.86518659) × R
    6.21699999999725e-05 × 6371000     		dl = 396.085069999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86512442--0.86518659) × R
    6.21699999999725e-05 × 6371000     		dr = 396.085069999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35387019--0.35377432) × cos(-0.86512442) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.648545415193541 × 6371000     		do = 396.123607889778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35387019--0.35377432) × cos(-0.86518659) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.648498091630693 × 6371000     		du = 396.094703236358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86512442)-sin(-0.86518659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648545415193541-0.648498091630693)×R²
    abs(-0.35377432--0.35387019)×4.73235628479785e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73235628479785e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73235628479785e-05×40589641000000     		ar = 156892.922659285m²