Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29075 / 43251
↖ ↑ ↗
← S 49.791904°
W 20.286255°		 ← 394.30 m → S 49.791904°
W 20.280762°		 →
↑
394.30 m
↓
↑
394.30 m
↓
S 49.795450°
W 20.286255°		 ← 394.27 m →
155 469 m²		 S 49.795450°
W 20.280762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443656921386719 y=0.659965515136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443656921386719 × 216)
    floor (0.443656921386719 × 65536)
    floor (29075.5)     		tx = 29075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659965515136719 × 216)
    floor (0.659965515136719 × 65536)
    floor (43251.5)     		ty = 43251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29075 / 43251 ti = "16/29075/43251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29075/43251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29075 ÷ 216
    29075 ÷ 65536     		x = 0.443649291992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43251 ÷ 216
    43251 ÷ 65536     		y = 0.659957885742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443649291992188 × 2 - 1) × π
    -0.112701416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35406194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659957885742188 × 2 - 1) × π
    -0.319915771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0050450374341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35406194} λ = -0.35406194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0050450374341))-π/2
    2×atan(0.36602814946413)-π/2
    2×0.350881832158649-π/2
    0.701763664317299-1.57079632675     		φ = -0.86903266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35406194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.286255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86903266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.791904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29075 KachelY 43251 -0.35406194 -0.86903266 -20.286255 -49.791904
    Oben rechts KachelX + 1 29076 KachelY 43251 -0.35396607 -0.86903266 -20.280762 -49.791904
    Unten links KachelX 29075 KachelY + 1 43252 -0.35406194 -0.86909455 -20.286255 -49.795450
    Unten rechts KachelX + 1 29076 KachelY + 1 43252 -0.35396607 -0.86909455 -20.280762 -49.795450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86903266--0.86909455) × R
    6.18900000000089e-05 × 6371000     		dl = 394.301190000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86903266--0.86909455) × R
    6.18900000000089e-05 × 6371000     		dr = 394.301190000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35406194--0.35396607) × cos(-0.86903266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645565611381508 × 6371000     		do = 394.303580164389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35406194--0.35396607) × cos(-0.86909455) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645518344454283 × 6371000     		du = 394.274710103315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86903266)-sin(-0.86909455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645565611381508-0.645518344454283)×R²
    abs(-0.35396607--0.35406194)×4.72669272247872e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72669272247872e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72669272247872e-05×40589641000000     		ar = 155468.679180167m²