Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29074 / 43254
↖ ↑ ↗
← S 49.802541°
W 20.291748°		 ← 394.22 m → S 49.802541°
W 20.286255°		 →
↑
394.24 m
↓
↑
394.24 m
↓
S 49.806087°
W 20.291748°		 ← 394.19 m →
155 409 m²		 S 49.806087°
W 20.286255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443641662597656 y=0.660011291503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443641662597656 × 216)
    floor (0.443641662597656 × 65536)
    floor (29074.5)     		tx = 29074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660011291503906 × 216)
    floor (0.660011291503906 × 65536)
    floor (43254.5)     		ty = 43254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29074 / 43254 ti = "16/29074/43254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29074/43254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29074 ÷ 216
    29074 ÷ 65536     		x = 0.443634033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43254 ÷ 216
    43254 ÷ 65536     		y = 0.660003662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443634033203125 × 2 - 1) × π
    -0.11273193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35415781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660003662109375 × 2 - 1) × π
    -0.32000732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.00533265883182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35415781} λ = -0.35415781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00533265883182))-π/2
    2×atan(0.36592288707476)-π/2
    2×0.350789003113409-π/2
    0.701578006226818-1.57079632675     		φ = -0.86921832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35415781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.291748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86921832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.802541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29074 KachelY 43254 -0.35415781 -0.86921832 -20.291748 -49.802541
    Oben rechts KachelX + 1 29075 KachelY 43254 -0.35406194 -0.86921832 -20.286255 -49.802541
    Unten links KachelX 29074 KachelY + 1 43255 -0.35415781 -0.86928020 -20.291748 -49.806087
    Unten rechts KachelX + 1 29075 KachelY + 1 43255 -0.35406194 -0.86928020 -20.286255 -49.806087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86921832--0.86928020) × R
    6.18799999999586e-05 × 6371000     		dl = 394.237479999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86921832--0.86928020) × R
    6.18799999999586e-05 × 6371000     		dr = 394.237479999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35415781--0.35406194) × cos(-0.86921832) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645423810820535 × 6371000     		do = 394.216970115968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35415781--0.35406194) × cos(-0.86928020) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645376544115173 × 6371000     		du = 394.188100190404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86921832)-sin(-0.86928020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645423810820535-0.645376544115173)×R²
    abs(-0.35406194--0.35415781)×4.72667053624809e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72667053624809e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72667053624809e-05×40589641000000     		ar = 155409.414118006m²