Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29074 / 42866
↖ ↑ ↗
← S 48.407326°
W 20.291748°		 ← 405.46 m → S 48.407326°
W 20.286255°		 →
↑
405.45 m
↓
↑
405.45 m
↓
S 48.410972°
W 20.291748°		 ← 405.43 m →
164 388 m²		 S 48.410972°
W 20.286255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443641662597656 y=0.654090881347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443641662597656 × 216)
    floor (0.443641662597656 × 65536)
    floor (29074.5)     		tx = 29074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654090881347656 × 216)
    floor (0.654090881347656 × 65536)
    floor (42866.5)     		ty = 42866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29074 / 42866 ti = "16/29074/42866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29074/42866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29074 ÷ 216
    29074 ÷ 65536     		x = 0.443634033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42866 ÷ 216
    42866 ÷ 65536     		y = 0.654083251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443634033203125 × 2 - 1) × π
    -0.11273193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35415781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654083251953125 × 2 - 1) × π
    -0.30816650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.968133624726654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35415781} λ = -0.35415781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968133624726654))-π/2
    2×atan(0.379791209963917)-π/2
    2×0.36296455231773-π/2
    0.725929104635461-1.57079632675     		φ = -0.84486722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35415781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.291748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84486722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.407326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29074 KachelY 42866 -0.35415781 -0.84486722 -20.291748 -48.407326
    Oben rechts KachelX + 1 29075 KachelY 42866 -0.35406194 -0.84486722 -20.286255 -48.407326
    Unten links KachelX 29074 KachelY + 1 42867 -0.35415781 -0.84493086 -20.291748 -48.410972
    Unten rechts KachelX + 1 29075 KachelY + 1 42867 -0.35406194 -0.84493086 -20.286255 -48.410972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84486722--0.84493086) × R
    6.36399999999204e-05 × 6371000     		dl = 405.450439999493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84486722--0.84493086) × R
    6.36399999999204e-05 × 6371000     		dr = 405.450439999493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35415781--0.35406194) × cos(-0.84486722) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663830592239908 × 6371000     		do = 405.459607091984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35415781--0.35406194) × cos(-0.84493086) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663782995623116 × 6371000     		du = 405.430535660554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84486722)-sin(-0.84493086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663830592239908-0.663782995623116)×R²
    abs(-0.35406194--0.35415781)×4.75966167919895e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75966167919895e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75966167919895e-05×40589641000000     		ar = 164387.882640453m²