Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29073 / 42865
↖ ↑ ↗
← S 48.403680°
W 20.297241°		 ← 405.53 m → S 48.403680°
W 20.291748°		 →
↑
405.45 m
↓
↑
405.45 m
↓
S 48.407326°
W 20.297241°		 ← 405.50 m →
164 417 m²		 S 48.407326°
W 20.291748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443626403808594 y=0.654075622558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443626403808594 × 216)
    floor (0.443626403808594 × 65536)
    floor (29073.5)     		tx = 29073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654075622558594 × 216)
    floor (0.654075622558594 × 65536)
    floor (42865.5)     		ty = 42865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29073 / 42865 ti = "16/29073/42865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29073/42865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29073 ÷ 216
    29073 ÷ 65536     		x = 0.443618774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42865 ÷ 216
    42865 ÷ 65536     		y = 0.654067993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443618774414062 × 2 - 1) × π
    -0.112762451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35425369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654067993164062 × 2 - 1) × π
    -0.308135986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.968037750927414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35425369} λ = -0.35425369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968037750927414))-π/2
    2×atan(0.379827623735669)-π/2
    2×0.36299637543898-π/2
    0.725992750877959-1.57079632675     		φ = -0.84480358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35425369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.297241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84480358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.403680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29073 KachelY 42865 -0.35425369 -0.84480358 -20.297241 -48.403680
    Oben rechts KachelX + 1 29074 KachelY 42865 -0.35415781 -0.84480358 -20.291748 -48.403680
    Unten links KachelX 29073 KachelY + 1 42866 -0.35425369 -0.84486722 -20.297241 -48.407326
    Unten rechts KachelX + 1 29074 KachelY + 1 42866 -0.35415781 -0.84486722 -20.291748 -48.407326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84480358--0.84486722) × R
    6.36400000000314e-05 × 6371000     		dl = 405.4504400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84480358--0.84486722) × R
    6.36400000000314e-05 × 6371000     		dr = 405.4504400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35425369--0.35415781) × cos(-0.84480358) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.663878186168153 × 6371000     		do = 405.530972560501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35425369--0.35415781) × cos(-0.84486722) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.663830592239908 × 6371000     		du = 405.501899738993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84480358)-sin(-0.84486722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663878186168153-0.663830592239908)×R²
    abs(-0.35415781--0.35425369)×4.75939282452709e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75939282452709e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75939282452709e-05×40589641000000     		ar = 164416.817519886m²