Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29072 / 42768
↖ ↑ ↗
← S 48.048710°
W 20.302734°		 ← 408.31 m → S 48.048710°
W 20.297241°		 →
↑
408.32 m
↓
↑
408.32 m
↓
S 48.052382°
W 20.302734°		 ← 408.28 m →
166 714 m²		 S 48.052382°
W 20.297241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443611145019531 y=0.652595520019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443611145019531 × 216)
    floor (0.443611145019531 × 65536)
    floor (29072.5)     		tx = 29072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652595520019531 × 216)
    floor (0.652595520019531 × 65536)
    floor (42768.5)     		ty = 42768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29072 / 42768 ti = "16/29072/42768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29072/42768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29072 ÷ 216
    29072 ÷ 65536     		x = 0.443603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42768 ÷ 216
    42768 ÷ 65536     		y = 0.652587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.11279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35434956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652587890625 × 2 - 1) × π
    -0.30517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.958737992401123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35434956} λ = -0.35434956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.958737992401123))-π/2
    2×atan(0.383376404744776)-π/2
    2×0.366094068487052-π/2
    0.732188136974103-1.57079632675     		φ = -0.83860819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35434956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.302734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83860819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.048710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29072 KachelY 42768 -0.35434956 -0.83860819 -20.302734 -48.048710
    Oben rechts KachelX + 1 29073 KachelY 42768 -0.35425369 -0.83860819 -20.297241 -48.048710
    Unten links KachelX 29072 KachelY + 1 42769 -0.35434956 -0.83867228 -20.302734 -48.052382
    Unten rechts KachelX + 1 29073 KachelY + 1 42769 -0.35425369 -0.83867228 -20.297241 -48.052382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83860819--0.83867228) × R
    6.40900000000721e-05 × 6371000     		dl = 408.31739000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83860819--0.83867228) × R
    6.40900000000721e-05 × 6371000     		dr = 408.31739000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35434956--0.35425369) × cos(-0.83860819) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.668498580764785 × 6371000     		do = 408.310757393479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35434956--0.35425369) × cos(-0.83867228) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.668450914798945 × 6371000     		du = 408.281643604499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83860819)-sin(-0.83867228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668498580764785-0.668450914798945)×R²
    abs(-0.35425369--0.35434956)×4.7665965839605e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7665965839605e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7665965839605e-05×40589641000000     		ar = 166714.43899183m²