Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29071 / 42862
↖ ↑ ↗
← S 48.392738°
W 20.308228°		 ← 405.62 m → S 48.392738°
W 20.302734°		 →
↑
405.58 m
↓
↑
405.58 m
↓
S 48.396385°
W 20.308228°		 ← 405.59 m →
164 504 m²		 S 48.396385°
W 20.302734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443595886230469 y=0.654029846191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443595886230469 × 216)
    floor (0.443595886230469 × 65536)
    floor (29071.5)     		tx = 29071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654029846191406 × 216)
    floor (0.654029846191406 × 65536)
    floor (42862.5)     		ty = 42862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29071 / 42862 ti = "16/29071/42862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29071/42862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29071 ÷ 216
    29071 ÷ 65536     		x = 0.443588256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42862 ÷ 216
    42862 ÷ 65536     		y = 0.654022216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443588256835938 × 2 - 1) × π
    -0.112823486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35444544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654022216796875 × 2 - 1) × π
    -0.30804443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.967750129529694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35444544} λ = -0.35444544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967750129529694))-π/2
    2×atan(0.379936886000031)-π/2
    2×0.363091858493345-π/2
    0.726183716986689-1.57079632675     		φ = -0.84461261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35444544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.308228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84461261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.392738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29071 KachelY 42862 -0.35444544 -0.84461261 -20.308228 -48.392738
    Oben rechts KachelX + 1 29072 KachelY 42862 -0.35434956 -0.84461261 -20.302734 -48.392738
    Unten links KachelX 29071 KachelY + 1 42863 -0.35444544 -0.84467627 -20.308228 -48.396385
    Unten rechts KachelX + 1 29072 KachelY + 1 42863 -0.35434956 -0.84467627 -20.302734 -48.396385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84461261--0.84467627) × R
    6.36600000000209e-05 × 6371000     		dl = 405.577860000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84461261--0.84467627) × R
    6.36600000000209e-05 × 6371000     		dr = 405.577860000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35444544--0.35434956) × cos(-0.84461261) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.664020989205378 × 6371000     		do = 405.618204007138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35444544--0.35434956) × cos(-0.84467627) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.663973388390918 × 6371000     		du = 405.589126979176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84461261)-sin(-0.84467627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664020989205378-0.663973388390918)×R²
    abs(-0.35434956--0.35444544)×4.76008144593143e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76008144593143e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76008144593143e-05×40589641000000     		ar = 164503.866714889m²