Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29071 / 42767
↖ ↑ ↗
← S 48.045038°
W 20.308228°		 ← 408.38 m → S 48.045038°
W 20.302734°		 →
↑
408.32 m
↓
↑
408.32 m
↓
S 48.048710°
W 20.308228°		 ← 408.35 m →
166 744 m²		 S 48.048710°
W 20.302734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443595886230469 y=0.652580261230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443595886230469 × 216)
    floor (0.443595886230469 × 65536)
    floor (29071.5)     		tx = 29071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652580261230469 × 216)
    floor (0.652580261230469 × 65536)
    floor (42767.5)     		ty = 42767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29071 / 42767 ti = "16/29071/42767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29071/42767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29071 ÷ 216
    29071 ÷ 65536     		x = 0.443588256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42767 ÷ 216
    42767 ÷ 65536     		y = 0.652572631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443588256835938 × 2 - 1) × π
    -0.112823486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35444544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652572631835938 × 2 - 1) × π
    -0.305145263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.958642118601883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35444544} λ = -0.35444544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.958642118601883))-π/2
    2×atan(0.383413162259251)-π/2
    2×0.366126115378898-π/2
    0.732252230757797-1.57079632675     		φ = -0.83854410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35444544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.308228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83854410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.045038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29071 KachelY 42767 -0.35444544 -0.83854410 -20.308228 -48.045038
    Oben rechts KachelX + 1 29072 KachelY 42767 -0.35434956 -0.83854410 -20.302734 -48.045038
    Unten links KachelX 29071 KachelY + 1 42768 -0.35444544 -0.83860819 -20.308228 -48.048710
    Unten rechts KachelX + 1 29072 KachelY + 1 42768 -0.35434956 -0.83860819 -20.302734 -48.048710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83854410--0.83860819) × R
    6.40899999999611e-05 × 6371000     		dl = 408.317389999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83854410--0.83860819) × R
    6.40899999999611e-05 × 6371000     		dr = 408.317389999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35444544--0.35434956) × cos(-0.83854410) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.668546243984748 × 6371000     		do = 408.382462586493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35444544--0.35434956) × cos(-0.83860819) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.668498580764785 × 6371000     		du = 408.353347438037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83854410)-sin(-0.83860819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668546243984748-0.668498580764785)×R²
    abs(-0.35434956--0.35444544)×4.76632199628568e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76632199628568e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76632199628568e-05×40589641000000     		ar = 166743.717191425m²