Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29071 / 14180
↖ ↑ ↗
← N 70.895078°
W 20.308228°		 ← 199.93 m → N 70.895078°
W 20.302734°		 →
↑
199.92 m
↓
↑
199.92 m
↓
N 70.893280°
W 20.308228°		 ← 199.95 m →
39 972 m²		 N 70.893280°
W 20.302734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443595886230469 y=0.216377258300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443595886230469 × 216)
    floor (0.443595886230469 × 65536)
    floor (29071.5)     		tx = 29071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216377258300781 × 216)
    floor (0.216377258300781 × 65536)
    floor (14180.5)     		ty = 14180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29071 / 14180 ti = "16/29071/14180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29071/14180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29071 ÷ 216
    29071 ÷ 65536     		x = 0.443588256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14180 ÷ 216
    14180 ÷ 65536     		y = 0.21636962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443588256835938 × 2 - 1) × π
    -0.112823486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35444544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21636962890625 × 2 - 1) × π
    0.5672607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78210218027521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35444544} λ = -0.35444544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78210218027521))-π/2
    2×atan(5.94233515747303)-π/2
    2×1.40407443014814-π/2
    2.80814886029628-1.57079632675     		φ = 1.23735253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35444544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.308228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23735253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.895078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29071 KachelY 14180 -0.35444544 1.23735253 -20.308228 70.895078
    Oben rechts KachelX + 1 29072 KachelY 14180 -0.35434956 1.23735253 -20.302734 70.895078
    Unten links KachelX 29071 KachelY + 1 14181 -0.35444544 1.23732115 -20.308228 70.893280
    Unten rechts KachelX + 1 29072 KachelY + 1 14181 -0.35434956 1.23732115 -20.302734 70.893280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23735253-1.23732115) × R
    3.13799999998032e-05 × 6371000     		dl = 199.921979998746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23735253-1.23732115) × R
    3.13799999998032e-05 × 6371000     		dr = 199.921979998746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35444544--0.35434956) × cos(1.23735253) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.327299078015015 × 6371000     		do = 199.931126208092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35444544--0.35434956) × cos(1.23732115) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.327328729468488 × 6371000     		du = 199.94923884233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23735253)-sin(1.23732115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327299078015015-0.327328729468488)×R²
    abs(-0.35434956--0.35444544)×2.9651453473778e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.9651453473778e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.9651453473778e-05×40589641000000     		ar = 39972.4371749121m²